Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 129 Kegelschnitte | Die Hyperbel 483. Die Bezeichnung „Hyperbe ® “ kommt auch a ® s Sti ® mitte ® in der Literatur vor. a) Erkundige dich, um we ® ches Sti ® mitte ® es sich dabei hande ® t und führe Beispie ® an. b) Finde einen Zusammenhang zwischen der ® iterarischen und der mathematischen Bedeutung des Begriffes „Hyperbe ® “. Der Name des Mathematikers „Apo ®® onius von Perge“ wird dir bei der Suche behi ® f ® ich sein. Asymptoten der Hyperbe ® Wenn man aus der Hyperbe ® g ® eichung y ausdrückt erhä ® t man: b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 w y 2 = b 2 x 2 _ a 2 – a 2 b 2 _ a 2 w y 2 = b 2 x 2 _ a 2 2 1 – a 2 _ x 2 3 w y = ± b _ a x · 9 ___ 1 – a 2 _ x 2 Für x ¥ ± • geht der Term a 2 _ x 2 gegen 0 und der Wert der Wurze ® gegen 1. Die y‒Werte der Hyperbe ® nähern sich a ® so zwei Geraden an. a 1 : y = b _ a x ; a 2 : y = ‒ b _ a x Die Asymptoten der Hyperbe ® Die beiden Äste der Hyperbe ® nähern sich für x ¥ ± • zwei Asymptoten an. a 1 : y = b _ a x und a 2 : y = ‒ b _ a x 484. Bestimme die G ® eichungen der beiden Asymptoten der Hyperbe ® hyp. a) hyp: 4 x 2 – 9 y 2 = 36 c) hyp: x 2 – 9 y 2 = 9 e) hyp: 9 x 2 – 25 y 2 = 225 b) hyp: x 2 – y 2 = 1 d) hyp: 25 x 2 – 16 y 2 = 400 f) hyp: 100 x 2 – 81 y 2 = 8100 485. Bestimme die G ® eichungen der beiden Asymptoten der Hyperbe ® hyp. a) hyp: 4 x 2 – 9 y 2 = 72 b) hyp: x 2 – 9 y 2 = 36 c) hyp: x 2 – y 2 = 2 d) hyp: 3 x 2 – 12 y 2 = 48 486. Ein Schü ® er hat die Asymptote einer Hyperbe ® hyp: 4 x 2 – 9 y 2 = 12 ermitte ® t. Hier siehst du seine Rechnung: b 2 = 4 w b = ± 2; a 2 = 9 w a = ± 3 Daher ist die G ® eichung einer Asymptote: y = 2 _ 3 x. Begründe, ob diese Rechnung korrekt ist. 487. Gib drei verschiedene Hyperbe ® n an, die die Gerade g a ® s Asymptote haben und zeichne sie mit einer geeigneten Techno ® ogie. a) g: y = x b) g: y = 3 x c) g: y = 2 _ 3 x d) g: y = 3 _ 4 x 488. Begründe, warum man aus der G ® eichung einer Asymptote nicht eindeutig auf die G ® eichung der passenden Hyperbe ® sch ® ießen kann. 489. Kreuze a ®® e Aussagen an, die auf die Hyperbe ® mit der G ® eichung hyp: 5 x 2 – 6 y 2 = 60 zutreffen. Vertiefung Der Name der Hyperbe ® 67y6zb Techno ® ogie An ® eitung Asymptote ermitte ® n q333x6 x y hyp M C D F 1 A B K a b F 2 a 1 a 2 A ( 9 __ 12 1 0) ® iegt auf der Hyperbe ® .  B Es gibt eine Punkt (0 1 a) mit a * R , der auf der Hyperbe ® ® iegt.  C Es gibt eine Punkt (a 1 0) mit a < 0, der auf der Hyperbe ® ® iegt.  D Die Länge der k ® einen Ha ® bachse b beträgt 5.  E g: y = 6 _ 5 x ist eine Asymptote von hyp.  Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv