Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

128 Kegelschnitte 5 474. Die numerische Exzentrizität ε einer Hyperbe ® ist das Verhä ® tnis aus ® inearer Exzentrizität und der Länge der großen Ha ® bachse: ε = e _ a . a) Bestimme ein Interva ®® , das genau die mög ® ichen Werte von ε umfasst. b) Hyperbe ® n mit g ® eicher numerischer Exzentrizität heißen zueinander ähn ® ich. Bestimme die G ® eichungen dreier verschiedener Hyperbe ® n, die zueinander ähn ® ich sind und zeichne deren Graphen in ein Koordinatensystem. Lagebeziehung Punkt-Hyperbe ® 475. Überprüfe, ob die Punkte P und Q auf der Hyperbe ® hyp ® iegen. a) hyp: 3 x 2 – 5 y 2 = 7; P = (2 1 2); Q = (2 1 1) c) hyp: 2 x 2 – 9 y 2 = 4; P = (‒ 3 1 1); Q = (1 1 3) b) hyp: 4 x 2 – 3 y 2 = 1; P = (1 1 1); Q = (‒1 1 1) d) hyp: 7x 2 – 3 y 2 = 60; P = (‒ 3 1 ‒ 3); Q = (‒ 3 1 1) 476. Argumentiere geometrisch, dass der Punkt P nicht auf der Hyperbe ® hyp ® iegen kann. a) hyp: 4 x 2 + 16 y 2 = 64; P = (3 1 0) b) hyp: 4 x 2 + 16 y 2 = 64; P = (0 1 2) 477. A ® iegt auf der Hyperbe ® hyp: 4 x 2 – 3 y 2 = 24. Bestimme, wenn mög ® ich, die Koordinate. a) A = (0 1 y) b) A = (x 1 0) c) A = (2 1 y) d) A = (x 1 ‒ 3) e) A = (‒ 2 1 y) 478. Zeige: Wenn der Punkt P = (m 1 n) auf einer Hyperbe ® ® iegt, dann ® iegen auch die Punkte mit den Koordinaten (‒m 1 n), (‒m 1 ‒ n) und (m 1 ‒ n) auf der g ® eichen Hyperbe ® . Hyperbe ® parameter aus Punkten berechnen 479. Bestimme die G ® eichung der Hyperbe ® , die durch die Punkte P = (2 1 9 _ 5) und Q = (4 1 9 __ 35) geht. Man setzt P und Q in die a ®® gemeine Hyperbe ® g ® eichung ein, um ein G ® eichungssystem für a und b zu erha ® ten: I: 4 b 2 – 5 a 2 = a 2 b 2 ; II: 16 b 2 – 35 a 2 = a 2 b 2 . Lösen des LGS: a 2 = 2 und b 2 = 5. Die gesuchte Hyperbe ® g ® eichung ® autet hyp: 5 x 2 – 2 y 2 = 10. 480. Bestimme die G ® eichung der Hyperbe ® , die durch die Punkte P und Q geht. a) P = (2 1 3); Q = (1 1 0) c) P = (5 1 0); Q = (‒ 8 1 9) e) P = (‒ 2 1 3); Q = (3 1 2) b) P = ( 9 _ 2 1 1); Q = (2 1 9 _ 3) d) P = (3 1 9 _ 2); Q = (6 1 9 __ 11) f) P = (1 1 1); Q = (3 1 5) 481. Bestimme die G ® eichung der Hyperbe ® hyp, die durch den Punkt P = (4 1 6) geht und in F 1 = (4 1 0) einen Brennpunkt hat. Mit Hi ® fe der Definition der Hyperbe ® | _ F 2 P – _ F 1 P | = 2 a, kann man den Parameter a bestimmen. Die Koordinaten von F 2 ® auten aus Symmetriegründen F 2 = (‒ 4 1 0). Nun bestimmet man aus den Vektoren _ À F 1 P und _ À F 2 P die Längen _ F 1 P und _ F 2 P. _ À F 2 P = 2 8 6 3 w | _ À F 2 P | = _ F 2 P = 9 __ 100 = 10; _ À F 1 P = 2 0 6 3 w | _ À F 1 P | = _ F 1 P = 6 Eingesetzt in | _ F 2 P – _ F 1 P | = 2 a erhä ® t man den Wert des Parameters a: |10 – 6| = 4 = 2 a w a = 2. Aus e = 4 fo ® gt für b: b = 9 ____ e 2 – a 2 = 9 __ 12. Die Hyperbe ® g ® eichung ® autet daher: hyp: 12 x 2 – 4 y 2 = 48 w 3 x 2 – y 2 = 12. 482. F ist ein Brennpunkt und P ein Punkt der Hyperbe ® . Bestimme ihre G ® eichung. a) F = (‒ 4 1 0); P = (3 1 0) c) F = (5 1 0); P = (‒ 4 1 3) e) F = (7 1 0); P = (5 1 6) b) F = (‒100 1 0); P = (50 1 0) d) F = (23 1 0); P = (45 1 50) f) F = (‒ 56 1 0); P = (100 1 100) muster Techno ® ogie An ® eitung Hyperbe ® - parameter ermitte ® n 2 874pr7 muster Techno ® ogie An ® eitung Hyperbe ® - parameter ermitte ® n 3 6gc5qf Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv