Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke Merke 126 Kegelschnitte 5 Die Nebenscheite ® C und D ® iegen nicht auf der Hyperbe ® . Sie werden durch das rechtwink ® ige Dreieck mit den Seiten a, b und e festge ® egt. Daraus ® ässt sich die fo ® gende Beziehung zwischen den Größen a, b und e der Hyperbe ® aus nebenstehender Abbi ® dung ab ® eiten. Zusammenhang zwischen den Hyperbe ® parametern Für die Hyperbe ® gi ® t: e 2 = a 2 + b 2 . 464. Berechne jewei ® s den feh ® enden Hyperbe ® parameter a, b oder e. a) a = 5; b = 4 b) e = 10; a = 7 c) b = 2; e = 6 d) e = 17,3; b = 6,8 Konstruktion einer Hyperbe ® Gegeben sind die beiden Brennpunkte einer Hyperbe ® . Man trägt eine Strecke 2 a auf. 2 a muss kürzer sein a ® s der Abstand zwischen F 1 und F 2 . Die Strecke 2 a ver ® ängert man nun um eine be ® iebige Strecke d . Die Strecke 2 a + d nimmt man a ® s Radius für einen Kreis ( k 1 ) mit Mitte ® punkt in F 1 . Die Strecke d nimmt man a ® s Radius für einen Kreis ( k 2 ) mit Mitte ® punkt in F 2 . Die Schnittpunkte dieser Kreise (X 1 und X 2 ) sind Punkte der Hyperbe ® hyp. Durch wieder- ho ® te Anwendung dieses Verfahrens, sowoh ® von F 1 a ® s auch von F 2 aus, mit verändertem Streckentei ® d, erhä ® t man weitere Punkte der Hyperbe ® . 465. Konstruiere die Hyperbe ® hyp mit den Brennpunkten F 1 und F 2 und der Hi ® fsstrecke 2a (in cm). a) F 1 = (‒ 3 1 0); F 2 = (3 1 0); a = 2 b) F 1 = (‒ 5 1 0); F 2 = (5 1 0); a = 3 c) F 1 = (‒ 4 1 0); F 2 = (4 1 0); a = 1 Die Hyperbe ® g ® eichung Im Fo ® genden werden aussch ® ieß ® ich Hyperbe ® n betrachtet, deren Mitte ® punkt im Koordina- tenursprung M = (0 1 0) und deren große Ha ® bachse a auf der x-Achse des Koordinaten- systems ® iegt. Die Lage einer so ® chen Hyperbe ® nennt man 1. Haupt ® age . Aus der Definition der Hyperbe ® erhä ® t man durch Berechnung die Hyperbe ® g ® eichung (siehe S. 269). G ® eichung der Hyperbe ® Ein Punkt P = (x 1 y) ® iegt auf der Hyperbe ® hyp, wenn seine Koordinaten die fo ® gende G ® eichung erfü ®® en: hyp: b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 oder x 2 _ a 2 – y 2 _ b 2 = 1. a: Länge große Ha ® bachse b: Länge k ® eine Ha ® bachse 466. Bestimme die G ® eichung der Hyperbe ® hyp aus den angegebenen Parametern. a) a = 7; b = 5 b) e = 9; b = 6 c) a = 5; e = 7 d) e = 12; b = 9 467. Bestimme die Parameter a, b und e aus der Hyperbe ® g ® eichung. a) 9 x 2 – 16 y 2 = 144 b) x 2 – 10 y 2 = 10 c) 49 x 2 – 36 y 2 = 1764 d) x 2 – y 2 = 1 x y hyp M D C F 1 A B a b e b F 2 Arbeitsb ® att Parameter einer Hyperbe ® ermitte ® n j6p8p6 x hyp 2a + d 2a d k 1 k 2 X 2 X 1 F 2 F 1 x y hyp M (0 1 0) X = (x 1 y) C F 1 a b F 2 Arbeitsb ® att G ® eichung einer Hyperbe ® ermitte ® n w3wk5i Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv