Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke Merke 125 kompe- tenzen 5.2 Die Hyperbe ® Lernzie ® e: º Die Eigenschaften der Hyperbe ® kennen º Die Hyperbe ® durch eine G ® eichung beschreiben können Ändert man die Definition der E ®® ipse nur in einem Wort ab, so erhä ® t man die Definition der Hyperbe ® . Definition E ®® ipse : Die Menge a ®® er Punkte, für die die Summe der Abstände zu zwei Brenn- punkten konstant ist. Definition Hyperbe ® : Die Menge a ®® er Punkte, für die die Längenunterschiede der Abstände zu zwei Brennpunkten konstant sind. A ®® e Punkte mit dieser Eigenschaft bi ® den die zwei Äste einer Hyperbe ® . Bezeichnungen in einer Hyperbe ® – Die Punkte A und B der Hyperbe ® heißen Hauptscheite ® . Ihr Abstand vom Mitte ® punkt M beträgt a. – a wird große Ha ® bachse genannt. – Die Punkte F 1 und F 2 werden Brennpunkte der Hyperbe ® genannt. Ihr Abstand zum Mitte ® punkt beträgt e. – e wird ® ineare Exzentrizität (Brennweite) genannt. Da der Hauptscheite ® A auf der Hyperbe ® ® iegt, muss auch für ihn ge ® ten, dass die Differenz der Abstände zu den Brennpunkten konstant ist: _ F 2 A – _ F 1 A = konstant In der Abbi ® dung kann man erkennen, dass für diese beiden Strecken Fo ® gendes gi ® t: _ F 2 A = e + a und _ F 1 A = e – a Daher ist die Differenz der Abstände _ F 2 A – _ F 1 A = (e + a) – (e – a) = 2 a. Für den zweiten Ast der Hyperbe ® gi ® t ana ® og: _ F 2 B – _ F 1 B = (e – a) – (e + a) = ‒ 2 a. Definition der Hyperbe ® Die Hyperbe ® ist die Menge a ®® er Punkte X in einer Ebene, für die der Betrag der Differenz der Abstände zu zwei festen Punkten F 1 und F 2 konstant ist: | _ F 2 X – _ F 1 X | = 2 a. 463. Lies aus der Abbi ® dung die Koordinaten von drei Punkten der Hyperbe ® ab und überprüfe den Zusammenhang: | _ F 2 X – _ F 1 X | = 2 a a) b) c) x y Äste der Hyperbel M F 1 F 1 X F 2 X X A hyp B a e F 2 x y 2 4 6 –6 –4 –2 4 8 –8 –4 0 F 1 hyp F 2 x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 F 1 hyp F 2 x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 F 1 hyp F 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv