Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

123 Kegelschnitte | Die Ellipse Lagebeziehung Punkt-E ®® ipse 446. Überprüfe, ob der Punkt P = (‒1 1 1) auf der E ®® ipse e ®® : 3 x 2 + 5 y 2 = 15 ® iegt. Wenn P auf e ®® ® iegt, dann müssen seine Koordinaten die E ®® ipseng ® eichung erfü ®® en: 3 · (‒1) 2 + 5 · (1) 2 = 8 ≠ 15 w P + e ®® 447. Überprüfe, ob die Punkte P und Q auf der E ®® ipse e ®® ® iegen. a) P = (2 1 ‒ 3); Q = (2 1 ‒1); e ®® : x 2 + 3 y 2 = 7 c) P = (1 1 1); Q = (‒ 9 _ 2 1 1); e ®® : x 2 + 3 y 2 = 5 b) P = (0 1 9 _ 3); Q = (3 1 0); e ®® : x 2 + 3 y 2 = 9 d) P = ( 9 _ 2 1 9 _ 5); Q = (‒2 1 ‒ 9 _ 3); e ®® : 2 x 2 + 3 y 2 = 18 448. A ® iegt auf der E ®® ipse e ®® : 2 x 2 + 4 y 2 = 27. Bestimme die feh ® ende Koordinate des Punktes A. a) A = (0 1 y) b) A = (x 1 0) c) A = (1 1 y) d) A = (x 1 ‒ 2) e) A = (‒ 2 1 y) 449. Bestimme jewei ® s fünf Punkte, die auf der E ®® ipse e ®® ® iegen. a) e ®® : x 2 + 4 y 2 = 20 b) e ®® : 3 x 2 + 5 y 2 = 16 c) e ®® : 2 x 2 + 7y 2 = 17 450. a) Zeige: Wenn der Punkt P = (m 1 n) auf einer E ®® ipse ® iegt, dann ® iegen auch die Punkte mit den Koordinaten (‒m 1 n), (‒m 1 ‒ n) und (m 1 ‒ n) auf dieser E ®® ipse. b) Kann man um jedes Rechteck eine E ®® ipse so ® egen, dass die E ®® ipse das Rechteck in a ®® en vier Eckpunkten berührt? Argumentiere deine Antwort. E ®® ipseng ® eichung aus Punkten ermitte ® n 451. Ermitt ® e die G ® eichung der E ®® ipse e ®® , die durch den Punkt P = (4 1 6) ver ® äuft und den Brenn- punkt F 1 = (‒ 4 1 0) besitzt. Da für jede E ®® ipse mit P * e ®® _ F 1 P + _ F 2 P = 2 a gi ® t, kann man aus F 1 , F 2 und P den Parameter a ermitte ® n. Aus F 2 = (4 1 0) fo ® gt: | _ À F 1 P | + | _ À F 2 P | = 2 a w | 2 8 6 3 | + | 2 0 6 3 | = 10 + 6 = 16 = 2 a w a = 8 Aus e = 4 fo ® gt: b 2 = a 2 – e 2 = 64 – 16 = 48 w e ®® : 48 x 2 + 64 y 2 = 3 072 w e ®® : 3 x 2 + 4 y 2 = 192 452. Ermitt ® e die G ® eichung der E ®® ipse e ®® , die durch P ver ® äuft und den Brennpunkt F besitzt. a) F = (5 1 0); P = (6 1 2) c) F = (‒ 4 1 0); P = (‒ 4 1 ‒ 6) e) F = (3 1 0); P = (3 1 3) b) F = (‒ 3 1 0); P = (4 1 1) d) F = (10 1 0); P = (9 1 2) f) F = (‒ 8 1 0); P = (6 1 5) 453. Begründe deine Antwort: Gibt es zu jeder be ® iebigen Angabe zweier Brennpunkte und eines Punktes P eine passende E ®® ipse mit a, b > 0, sodass P auf der E ®® ipse ® iegt? 454. Bestimme die G ® eichung der E ®® ipse, die durch die Punkte P = (2 1 9 _ 3) und Q = ( 9 _ 2 1 2) geht. P und Q werden in die a ®® gemeine E ®® ipseng ® eichung eingesetzt, um ein G ® eichungssystem für a und b zu erha ® ten: I: 4 b 2 + 3 a 2 = a 2 b 2 ; II: 2 b 2 + 4 a 2 = a 2 b 2 . Man ® öst das erha ® tene G ® eichungssystem und erhä ® t: 5 = b 2 und a 2 = 10. Die gesuchte E ®® ipseng ® eichung ® autet e ®® : 5 x 2 + 10 y 2 = 50. 455. Bestimme die G ® eichung der E ®® ipse, die durch die Punkte P und Q geht. a) P = (1 1 3); Q = (2 1 9 _ 7) c) P = (2 1 4); Q = ( 9 __ 19 1 2) d) P = (2 1 3); Q = ( 9 __ 11 1 2) b) P = (2 1 9 _ 2); Q = (4 1 1) d) P = (5 1 1); Q = (4 1 9 _ 6) f) P = ( 9 _ 5 1 9 _ 3); Q = ( 9 _ 3 1 9 _ 5) muster muster Techno ® ogie An ® eitung E ®® ipsenparameter bestimmen 2 wg2ta5 : 16 muster Techno ® ogie An ® eitung E ®® ipsenparameter bestimmen 3 4b9xd7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv