Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

techno- logie Merke 121 Kegelschnitte | Die Ellipse 435. Konstruiere die E ®® ipse mit den Brennpunkten F 1 und F 2 und der Hi ® fsstrecke 2 a. A ®® e Angaben sind in cm. a) F 1 = (‒ 3 1 0); F 2 = (3 1 0); a = 7 c) F 1 = (‒1 1 0); F 2 = (1 1 0); a = 4 b) F 1 = (‒1 1 0); F 2 = (1 1 0); a = 7 d) F 1 = (‒ 3 1 0); F 2 = (3 1 0); a = 4 Die E ®® ipseng ® eichung Im Fo ® genden werden aussch ® ieß ® ich E ®® ipsen betrachtet, deren Mitte ® punkt im Koordinaten- ursprung M = (0 1 0) und deren große Ha ® bachse a auf der x-Achse des Koordinatensystems ® iegt. Die Lage einer so ® chen E ®® ipse nennt man 1. Haupt ® age . Es gi ® t immer a > b. Aus der Definition der E ®® ipse erhä ® t man durch Berechnung die E ®® ipseng ® eichung (siehe Anhang Beweise S. 269). G ® eichung der E ®® ipse in 1. Haupt ® age Ein Punkt P = (x 1 y) ® iegt auf der E ®® ipse e ®® , wenn seine Koordinaten die fo ® gende G ® eichung erfü ®® en: e ®® : b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 oder x 2 _ a 2 + y 2 _ b 2 = 1 a: Länge der großen Ha ® bachse b: Länge der k ® einen Ha ® bachse 436. Von einer E ®® ipse e ®® sind die Koordinaten des Hauptscheite ® s A = (‒ 4 1 0) und des Brenn- punkts F = (3 1 0) gegeben. Bestimme die G ® eichung der E ®® ipse. Um die E ®® ipseng ® eichung angeben zu können, benötigt man die Parameter a und b. a kann man direkt aus der x-Koordinate des Hauptscheite ® s A ab ® esen: a = 4. Aus der x-Koordinate des Brennpunktes F kann man e bestimmen: e = 3. Für b 2 erhä ® t man aus a 2 – b 2 = e 2 die Beziehung b 2 = a 2 – e 2 = 16 – 9 = 7. Setzt man nun a 2 und b 2 in die a ®® gemeine E ®® ipseng ® eichung b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ein, so erhä ® t man die gesuchte G ® eichung der E ®® ipse e ®® : 7x 2 + 16 y 2 = 112. 437. Bestimme die G ® eichung der E ®® ipse e ®® aus den angegebenen Parametern. a) a = 10; b = 5 c) e = 5; b = 6 e) a = 12; e = 4 g) e = 7; b = 6 b) b = 4; e = 4 d) a = 9; e = 7 f) a = 9; b = 4 h) a = 2; b = 1 438. A und B sind die Hauptscheite ® , B und C die Nebenscheite ® und F ist ein Brennpunkt einer E ®® ipse. Bestimme die G ® eichung der E ®® ipse e ®® . a) e ®® : A = (‒10 1 0); C = (0 1 5) c) e ®® : F = (‒ 5 1 0); C = (0 1 3) e) e ®® : D = (0 1 ‒ 4); A = (‒12 1 0) b) e ®® : B = (6 1 0); D = (0 1 ‒ 4) d) e ®® : A = (‒ 8 1 0); F = (‒ 4 1 0) f) e ®® : F = (7 1 0); B = (8 1 0) 439. Bestimme die Parameter a,b und e aus der E ®® ipseng ® eichung. a) 9 x 2 + 16 y 2 = 144 b) x 2 + 13 y 2 = 13 c) 25 x 2 + 49 y 2 = 1 225 d) 4 x 2 + 4 y 2 = 16 G ® eichung der E ®® ipse ermitte ® n Geogebra: E ®® ipse[Brennpunkt, Brennpunkt, Punkt] z. B. E ®® ipse[(‒ 3,0),(3,0),(2,1)] Ellipse in 1. Hauptlage M(0 1 0) X = (x 1 y) a b A B D C y x muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv