Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke Merke 120 Kegelschnitte 5 Definition der E ®® ipse Die E ®® ipse ist die Menge a ®® er Punkte X in einer Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten F 1 und F 2 konstant ist: _ F 1 X + _ F 2 X = 2 a. 432. Lies aus der nebenstehenden Abbi ® dung der E ®® ipse e ®® die Länge der großen Ha ® bachse a und die Koordinaten von fünf Punkten der E ®® ipse ab. Überprüfe damit den Zusammenhang _ F 1 X + _ F 2 X = 2 a. Da der Nebenscheite ® C auch auf der E ®® ipse ® iegt, muss für ihn auch die Summe der Abstände zu den beiden Brennpunkten 2 a betragen. Die beiden Abstände sind aus Symmetrie- gründen g ® eich und es gi ® t für einen Abstand _ F 1 C = a. Mit Hi ® fe des Satzes des Pythagoras ® ässt sich eine Beziehung zwischen den Größen a, b und e ab ® eiten. Zusammenhang zwischen den Größen a, b und e der E ®® ipse e 2 = a 2 – b 2 (gi ® t nur für E ®® ipsen mit a > b) 433. Berechne jewei ® s den feh ® enden E ®® ipsenparameter a, b oder e. a) a = 5; b = 4 b) e = 3; a = 7 c) b = 2; e = 3 d) e = 12,1; b = 12 434. Bestimme mit Hi ® fe der Maße aus der Abbi ® dung die Brennweite e der E ®® ipse und zeichne die beiden Brennpunkte in die Abbi ® dung ein. a) b) c) Konstruktion einer E ®® ipse Um eine E ®® ipse mit der großen Ha ® bachse a zu konstruieren, zeichnet man zuerst eine Strecke mit der Länge 2 a. 2 a muss größer sein a ® s der Abstand zwischen F 1 und F 2 . Einen be ® iebigen Tei ® der Strecke (bezeichnet mit x ) verwendet man a ® s Radius für einen Kreis ( k 1 ) mit Mitte ® punkt in F 1 . Den rest ® ichen Tei ® der Strecke ( 2 a – x ) nimmt man a ® s Radius für einen Kreis ( k 2 ) mit Mitte ® punkt in F 2 . Die Schnitt- punkte dieser Kreise (X 1 und X 2 ) sind Punkte der E ®® ipse e ®® . Durch wiederho ® te Anwendung dieses Verfahrens mit verändertem Streckentei ® x erhä ® t man weitere Punkte der E ®® ipse. x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 e ®® F 1 F 2 Ellipse e ®® M e b A B F 1 F 1 C = a F 2 D y C x Arbeitsb ® att Parameter einer E ®® ipse bestimmen d2y26w x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 ell x y 4 8 12 – 12 –8 –4 4 8 –8 –4 0 ell x y 4 8 –8 –4 4 –4 0 ell x y e ®® 2a 2a – x x k 1 k 2 X 2 X 1 F 2 F 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv