Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

12 Gleichungen höheren Grades 1 Po ® ynomdivision Bei der Po ® ynomdivision dividiert man nicht nur Zah ® en, sondern ganze Terme. Die Vorgangs- weise ist diese ® be wie bei der Division natür ® icher Zah ® en. Division von Zah ® en Po ® ynomdivision 2772 : 12 = 2, da 27 : 12 = 2 (x 3 + 4 x 2 + 2 x – 3) : (x + 3) = x 2 , da x 3 : x = x 2 2772 : 12 = 2 Das Produkt 2 ·12 von 27 ‒ 24 subtrahieren. (x 3 + 4 x 2 + 2 x – 3) : (x + 3) = x 2 – (x 3 + 3 x 2 ) Das Produkt (x + 3) · x 2 von x 3 + 4 x 2 + 2 x – 3 subtrahieren. 2772 : 12 = 2 Nach der Subtraktion die ‒ 24 nächste Ziffer anschreiben. 37 (x 3 + 4 x 2 + 2 x – 3) : (x + 3) = x 2 – (x 3 + 3 x 2 ) x 2 + 2 x Subtrahieren und den nächsten Term anschreiben. 2772 : 12 = 23, da 37 : 12 = 3 ‒ 24 37 (x 3 + 4 x 2 + 2 x – 3) : (x + 3) = x 2 + x, da x 2 : x = x – (x 3 + 3 x 2 ) x 2 + 2 x 2772 : 12 = 23 Zurückmu ® tip ® izieren und ‒ 24 subtrahieren. 37 ‒ 36 (x 3 + 4 x 2 + 2 x – 3) : (x + 3) = x 2 + x – (x 3 + 3 x 2 ) x 2 + 2 x Das Produkt x · (x + 3) – (x 2 + 3 x) von x 2 + 2 x subtrahieren. 2772 : 12 = 231 ‒ 24 Die beschriebenen Verfahren 37 noch einma ® anwenden und ‒ 36 die Division absch ® ießen. 12 ‒12 0 Rest (x 3 + 4 x 2 + 2 x – 3) : (x + 3) = x 2 + x – 1 – (x 3 + 3 x 2 ) x 2 + 2 x – (x 2 + 3 x)       ‒ x – 3 – (‒ x – 3) 0 Rest Die Po ® ynomdivision kann verwendet werden, um durch Abspa ® ten eines ® inearen Faktors den Grad einer a ® gebraischen G ® eichung um 1 zu verringern. Betrachtet man zum Beispie ® die G ® eichung x 3 – 9 x 2 + 23 x – 15 = 0mit den Lösungen x 1 = 1, x 2 = 3 und x 3 = 5, so ® ässt sich diese in der Form (x – 1) · (x – 3) · (x – 5) = 0 anschreiben. Es ist dann: x 3 – 9 x 2 + 23 x – 15 = (x – 1) · (x – 3) · (x – 5) Dividiert man die G ® eichung nun beispie ® sweise durch (x – 5) erhä ® t man: x 3 – 9 x 2 + 23 x – 15 = (x – 1) · (x – 3) · (x – 5) | : (x – 5) (x 3 – 9 x 2 + 23 x – 15) : (x – 5) = (x – 1) · (x – 3) Man sagt: Der ® ineare Faktor (x – 5) wird abgespa ® ten. Der Quotient hat den Grad zwei. Das konstante G ® ied ‒15 ergibt sich (vom Vorzeichen abgesehen) a ® s Produkt a ®® er auftre- tenden Lösungen: 15 = 1 · 3 · 5. Dies kann dazu genutzt werden, um eine ganzzah ® ige Lösung der G ® eichung durch Probieren zu finden. Fa ®® s eine ganzzah ® ige Lösung existiert, muss sie ein Tei ® er des konstanten G ® iedes sein. Findet man einen so ® chen Tei ® er, kann der entspre- chende Linearfaktor abgespa ® ten werden. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv