Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 119 kompe- tenzen 5.1 Die E ®® ipse Lernzie ® e: º Die Eigenschaften von E ®® ipsen kennen º Eine E ®® ipse durch eine G ® eichung beschreiben können Die so genannte Gärtnere ®® ipse verdeut ® icht sehr anschau ® ich, wie eine E ®® ipse konstruiert wird und we ® che wesent ® ichen Eigenschaften sie hat. Eine Schnur von bestimmter Länge wird an beiden Enden an zwei Pf ® öcken befestigt. Geht man nun mit gespannter Schnur, wie in der Abbi ® dung dargeste ®® t, um die Pf ® öcke herum, so beschreibt man eine E ®® ipse. Die Punkte der E ®® ipse sind a ® so a ®® jene Punkte X, für die die Summe der Abstände von den zwei Pf ® öcken (die Brennpunkte F 1 und F 2 der E ®® ipse) einen konstanten Wert (die Länge der Schnur) ergibt. _ F 1 X + _ F 2 X = const. Bezeichnungen in einer E ®® ipse – A und B sind die Hauptscheite ® der E ®® ipse. Ihr Abstand vom Mitte ® punkt M beträgt a. – a wird große Ha ® bachse genannt. – C und D sind die Nebenscheite ® der E ®® ipse. Ihr Abstand vom Mitte ® punkt M beträgt b. – b wird k ® eine Ha ® bachse genannt. – F 1 und F 2 sind die Brennpunkte der E ®® ipse. Ihr Abstand zum Mitte ® punkt beträgt e. – e wird ® ineare Exzentrizität (Brennweite) genannt. 431. 1) Lies aus der dargeste ®® ten E ®® ipse die Länge der großen Ha ® bachse a, die Länge der k ® einen Ha ® bachse b, die Brennweite e und die Koordinaten der Haupt- und Nebenscheite ® ab. 2) Überprüfe an den Haupt- und Nebenscheite ® n, dass gi ® t: _ F 1 X + _ F 2 X = const. a) b) c) ) Da der Hauptscheite ® B auf der E ®® ipse ® iegt, muss auch für ihn ge ® ten, dass die Summe der Abstände zu den Brennpunkten konstant ist: _ F 1 B + _ F 2 B = const. In der Abbi ® dung kann man erkennen, dass für diese beiden Strecken Fo ® gendes gi ® t: _ F 2 B = a – e und _ F 1 B = e + a. Daher ist die Summe der Abstände: _ F 2 B + _ F 1 B = (a – e) + (e + a) = 2 a. Techno ® ogie Darste ®® ung Gärtnere ®® ipse ap3q5s Techno ® ogie Darste ®® ung Parameter der E ®® ipse v7v46c Ellipse e ®® M e a b A F 1 F 1 X F 2 X F 2 X y x B D C Arbeitsb ® att Parameter der E ®® ipse ab ® esen 86gu79 x y 4 8 12 – 12 –8 –4 8 16 e ®® F 1 F 2 – 16 –8 0 x y 1 2 –2 – 1 1 – 1 0 e ®® F 1 F 2 x y 2 4 –4 –2 2 –2 0 e ®® F 1 F 2 E ®® ipse e ®® M e a A F 1 F 2 B D C y x b Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv