Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

118 5 Kege ® schnitte Techno ® ogie Darste ®® ung Variation der Parameter von quadratischen imp ® iziten Funktionen 23vh5t Die spezie ®® en Eigenschaften der Kege ® schnitte werden in vie ® en technischen Anwendungen ausgenützt. Einige davon wirst du in diesem Kapite ® kennen ® ernen. Besondere Bedeutung haben die Kege ® schnitte für die Astronomie und für die Entwick ® ung unseres We ® tbi ® des. Das tausende Jahre vorherrschende geozentrische We ® tbi ® d beinha ® tete auch die „Gewissheit“, dass die gött ® iche Sphäre (der Himme ® ) nur perfekte geometrische Objekte entha ® ten kann: Kreise und Kuge ® n. A ® s Johannes Kep ® er 1609 herausfand, dass P ® aneten sich nicht auf „gött ® ich perfekten“ Kreisbahnen, sondern auf E ®® ipsenbahnen bewegen, war das ein entscheidender Schritt, um das geozentrische We ® tbi ® d zu überwinden und dem he ® iozentrischen We ® tbi ® d zum Durchbruch zu verhe ® fen. Kege ® schnitte können Großes bewirken! Mond Erde Venus Sonne Mars Hey Erde, Kep ® er meint wir so ®® en tauschen!! Durch die A ® gebraisierung der Geometrie können geometrische Objekte auch a ® s Lösungen von G ® eichungen interpretiert werden. A ®® e Geraden in einer Ebene sind zum Beispie ® die Lösungen von ® inearen G ® eichungen mit zwei Variab ® en (x und y), die fo ® gende Form haben: a x + b y + c = 0. Betrachtet man a ® s nächsten Schritt die Lösungen von quadratischen G ® eichungen mit zwei Variab ® en, die die Form a x 2 + b y 2 + c x y + d x + e y + f = 0 haben, so erhä ® t man die Kege ® schnitte. Du kannst in der On ® ineergänzung se ® ber Kege ® schnitte in verschiedenen Lagen erzeugen, indem du die Parameter a bis f in der G ® eichung variierst. Einer Legende nach wütete auf der griechischen Inse ® De ® os um das Jahr 400 v. u. Z. eine Pestepedemie. Die Bewohner fragten ein Orake ® um Rat. Das Orake ® meinte, die Bewohner so ®® ten das Vo ® umen des würfe ® förmigen A ® tars im Tempe ® verdoppe ® n, ohne seine würfe ® förmige Form zu verändern. Die Lösung dieses berühmten Prob ® ems – das De ® ische Prob ® em – ® ieß sich auf so genannte „Kege ® schnitte“ zurückführen. A ® s Kege ® schnitte bezeichnet man die Linien, die entstehen, wenn eine Ebene einen Doppe ® kege ® schneidet. Je nach Schnittwinke ® entstehen Kreise, E ®® ipsen, Hyperbe ® n oder Parabe ® n. Jeder Punkt auf der Kurve ist eine Lösung der entsprechenden Gleichung x y 1 2 3 4 –5 –4 –3 –2 – 1 1 2 3 4 –2 – 1 0 3x 2 + 5y 2 + 4xy + + 7y – 3y – 10 = 0 –5y 2 + 7x – 10 = 0 – 7x + 3y – 10 = 0 3x 2 – 5y 2 + 4xy + + 7y – 3y – 10 = 0 Kreis Ellipse Hyperbel Parabel Nur zu Prüfzwecken 3 – Eigentum des Verlags öbv