Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

114 Kreis und Kugel 4 410. Bestimme die Schnittpunkte der Kuge ® f ® äche k mit den Koordinatenachsen. a) k: M = (‒1 1 2 1 1); r = 3 c) k: M = (0 1 0 1 0); r = 7 b) k: M = (3 1 0 1 0); r = 2 d) k: M = (‒ 3 1 ‒ 4 1 0); r = 5 Tangentia ® ebene an eine Kuge ® A ®® e Tangenten an die Kuge ® f ® äche k im Punkt T bi ® den die Tangentia ®- ebene e. Die Tangentia ® ebene steht norma ® auf den Kuge ® radius. 411. Bestimme die G ® eichung der Tangentia ® ebene an die Kuge ® f ® äche k: (x + 2) 2 + (y – 1) 2 + (z – 4) 2 = 66 im Punkt T = (3 1 ‒ 3 1 ‒1). Da der Radiusvektor _ À MT = _ À n ein Norma ® vektor der Ebene e ist, kann man mit _ À n und T die Norma ® vektorform der Ebene e bestimmen: M = (‒ 2 1 1 1 4 ) w _ À MT = 2 5 ‒ 4 ‒ 5 3 = _ À n w 2 5 ‒ 4 ‒ 5 3 · 2 x y z 3 = 2 5 ‒ 4 ‒ 5 3 · 2 3 ‒ 3 ‒1 3 w e: 5 x – 4 y – 5 z = 32 412. Bestimme die G ® eichung der Tangentia ® ebene an die Kuge ® k im Punkt T. a) k: (x – 1) 2 + (y + 3) 2 + z 2 = 9; T = (‒ 2 1 ‒ 3 1 0) b) k: (x – 2) 2 + (y + 3) 2 + (z – 2) 2 = 24; T = (4 1 1 1 0) c) k: x 2 + (y + 5) 2 + (z – 3) 2 = 13; T = (2 1 ‒ 5 1 0) d) k: x 2 + y 2 + z 2 = 16; T = (4 1 0 1 0) 413. Untersuche an zwei se ® bstgewäh ® ten Beispie ® en, ob man die Tangentia ® eben an eine Kuge ® auch mit Hi ® fe einer Spa ® tform bestimmen kann. Koordinatenform der Kreisg ® eichung k: (x – x M ) 2 + (y – y M ) 2 = r 2 Spa ® tform der Tangenteng ® eichung t: (x T – x M ) · (x – x M ) + (y T – y M ) · (y – y M ) = r 2 Koordinatenform der Kuge ® g ® eichung k: (x – x M ) 2 + (y – y M ) 2 + (z – z M ) 2 = r 2 A ®® gemeine Form der Kreis- und Kuge ® g ® eichung Die a ®® gemeine Form der Kreisg ® eichung und der Kuge ® g ® eichung erhä ® t man durch Berech- nung der Binome und Zusammenfassen der Terme aus der Koordinatenform. Schnittwinke ® Der Schnittwinke ® zwischen einer Geraden g und einer Kreis ® inie k ist der Winke ® zwischen der Geraden und der Tangente im Schnittpunkt. Der Schnittwinke ® zwischen zwei Kreis ® inien ist der Winke ® zwischen den beiden Tangenten im Schnittpunkt. A ® s Schnittwinke ® werden immer Winke ® α mit 0° ª α ª 90° angegeben. M r T n e muster Techno ® ogie An ® eitung Tangentia ® ebene an Kuge ® h5rf7v X = (x 1 y) M = (x M 1 y M ) r k zusammenfassung r M = (x m 1 y m 1 z m ) X = (x 1 y 1 z) k 1 k 2 S t 1 t 2 α g k t S α Nur zu Prüfzwecken ‒ – Eigentum des Verlags öbv