Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

113 Kreis und Kugel | Die Kugelgleichung 404. Bestimme die G ® eichung einer Kuge ® f ® äche mit Mitte ® punkt im Erdmitte ® punkt und mit einem Radius von 6 371 km. Verg ® eiche das Ergebnis mit der Motivationsseite dieses Kapite ® s. 405. Untersuche, ob die Punkte A, B und C auf der Kuge ® f ® äche k ® iegen. a) k: (x – 1) 2 + (y + 3) 2 + z 2 = 25; A = (1 1 2 1 0); B = (1 1 ‒ 3 1 5); C = (0 1 0 1 0) b) k: (x + 3) 2 + (y – 1) 2 + (z + 1) 2 = 29; A = (‒1 1 1 1 2); B = (‒1 1 4 1 3); C = (0 1 5 1 1) c) k: (x – 5) 2 + (y + 1) 2 + (z + 2) 2 = 3; A = (6 1 0 1 ‒1); B = (2 1 0 1 0); C = (‒1 1 0 1 6) d) k: x 2 + (y – 1) 2 + z 2 = 14; A = (1 1 3 1 3); B = (3 1 2 1 2); C = (‒ 3 1 ‒1 1 ‒1) 406. Untersuche, ob der Punkt P innerha ® b, auf oder außerha ® b der Kuge ® f ® äche k ® iegt. a) k: (x – 2) 2 + (y – 1) 2 + (z + 1) 2 = 25; P = (3 1 1 1 0) b) k: (x + 3) 2 + (y + 1) 2 + z 2 = 49; P = (‒ 3 1 ‒1 1 0) c) k: (x – 5) 2 + (y + 6) 2 + z 2 = 1; P = (‒ 2 1 ‒1 1 1) d) k: (x – 2) 2 + y 2 + z 2 = 4; P = (2 1 ‒1 1 3) 407. A, B und C ® iegen auf der Kuge ® f ® äche k. Bestimme die feh ® enden Koordinaten. a) k: (x – 2) 2 + y 2 + (z – 2) 2 = 25; A = (2 1 y 1 2); B = (7 1 0 1 z); C = (x 1 0 1 7) b) k: x 2 + (y – 1) 2 + (z + 1) 2 = 16; A = (4 1 1 1 z); B = (0 1 5 1 z); C = (0 1 y 1 3) c) k: (x – 5) 2 + (y + 1) 2 + (z + 2) 2 = 6; A = (6 1 0 1 z); B = (7 1 y 1 ‒1); C = (6 1 1 1 z) d) k: x 2 + (y – 1) 2 + z 2 = 14; A = (1 1 3 1 z); B = (3 1 y 1 1); C = (x 1 4 1 2) Schnittpunkte von Kuge ® f ® äche und Gerade 408. Bestimme die Schnittpunkte der Kuge ® f ® äche mit dem Mitte ® punkt M = (3 1 2 1 ‒1) und dem Radius r = 9 __ 50 mit der Geraden g: X = 2 ‒ 2 ‒1 ‒ 5 3 + t 2 5 3 4 3 . 1) Zuerst ste ®® t man die a ®® gemeine Form der Kuge ® g ® eichung auf: k: (x – 3) 2 + (y – 2) 2 + (z + 1) 2 = 50 w x 2 – 6 x + y 2 – 4 y + z 2 + 2 z = 36 2) Um die Gerade mit der Kuge ® f ® äche zu schneiden, werden die x-, y- und z-Komponenten der Geradeng ® eichung in die Kuge ® g ® eichung eingesetzt und dann der Parameter t berechnet: (‒ 2 + 5 t) 2 – 6(‒ 2 + 5 t) + (‒1 + 3 t) 2 – 4(‒1 + 3 t) + (‒ 5 + 4 t) 2 + 2(‒ 5 + 4 t) = 36 w 50 t 2 – 100 t = 0 w t 1 = 0; t 2 = 2 3) Die Parameter t 1 und t 2 werden in die G ® eichung für g eingesetzt um die beiden Schnitt- punkte S 1 und S 2 zu berechnen: S 1 = 2 ‒ 2 ‒1 ‒ 5 3 + 0 · 2 5 3 4 3 = 2 ‒ 2 ‒1 ‒ 5 3 = (‒ 2 1 ‒1 1 ‒ 5) und S 2 = 2 ‒ 2 ‒1 ‒ 5 3 + 2 · 2 5 3 4 3 = 2 8 5 3 3 = (8 1 5 1 3). 409. Bestimme die Schnittpunkte der Kuge ® f ® äche mit dem Mitte ® punkt M und dem Radius r mit der Geraden g. a) k: M = (‒1 1 ‒ 3 1 0 ); r = 9 __ 14; g: X = 2 2 ‒1 1 3 + t · 2 1 4 1 3 b) k: M = (‒3 1 0 1 2); r = 9 _ 5; g: X = 2 ‒3 ‒1 4 3 + t · 2 1 3 ‒2 3 Techno ® ogie An ® eitung Schnittpunkt Kuge ® – Gerade 9pr5kh muster M g S 1 S 2 Nur U zu Prüfzwecken ‒ – Eigentum ( des Verlags öbv