Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 111 Kreis und Kugel | Lagebeziehungen zweier Kreise 395. Bestimme die gemeinsamen Punkte der Kreis ® inien k 1 , k 2 und k 3 und veranschau ® iche deren Lage durch eine Skizze. a) k 1 : x 2 + y 2 + 18 x – 8 y = ‒ 45; k 2 : x 2 + y 2 – 10 x + 14 y = 39; k 3 : x 2 + y 2 – 4 x – 18 y = 21 b) k 1 : x 2 + y 2 + 20 x – 6 y = ‒ 84; k 2 : x 2 + y 2 – 24 x – 10 y = 180; k 3 : x 2 + y 2 – 2 x – 8 y = 48 c) k 1 : x 2 + y 2 + 16 x – 10 y = 27; k 2 : x 2 + y 2 – 10 x – 6 y = 31; k 3 : x 2 + y 2 + 4 x + 14 y = 32 Schnittwinke ® zweier Kreis ® inien bestimmen Schnittwinke ® zweier Kreis ® inien A ® s Schnittwinke ® zwischen zwei Kreis ® inien bezeichnet man den Winke ® α , den die beiden Tangenten im Schnittpunkt einsch ® ießen. Üb ® icherweise gibt man jenen Winke ® α an, für den 0° ª α  ª 90° gi ® t. 396. Bestimme den Schnittwinke ® zwischen den Kreis ® inien k 1 und k 2 . k 1 [M = (‒ 6 1 4); r = 9 __ 20 ]; k 2 [M = (6 1 6); r = 9 __ 80 ] Da die Schnittwinke ® in den beiden Schnittpunkten aus Symmetriegründen g ® eich sind, braucht man nur den Schnitt- winke ® in einem Schnittpunkt bestimmen. k 1 : (x + 6) 2 + (y – 4) 2 = 20 w I: x 2 + y 2 + 12 x – 8 y = ‒ 32 k 2 : (x – 6) 2 + (y – 6) 2 = 80 w II: x 2 + y 2 – 12 x – 12 y = 8 Aus dem G ® eichungssystem erhä ® t man z. B. den Schnittpunkt S 1 = (‒ 2 1 2). Mit Hi ® fe der Spa ® tformen beider Kreisg ® eichungen erhä ® t man die beiden Tangenten in S 1 . Tangente an k 1 : t 1 : (x + 6) (‒ 2 + 6) + (y – 4) (2 – 4) = 20 w t 1 : ‒ 2 x + y = 6 Tangente an k 2 : t 1 : (x – 6) (‒ 2 – 6) + (y – 6) (2 – 6) = 80 w t 2 : 2 x + y = ‒ 2 Da die Norma ® vektoren von t 1 und t 2 den g ® eichen Winke ® wie die beiden Geraden t 1 und t 2 einsch ® ießen, kann man den Schnittwinke ® α fo ® gendermaßen berechnen: _ À n 1 = 2 ‒ 2 1 3 ; _ À n 2 = 2 2 1 3 w cos( α ) = 2 ‒ 2 1 3 2 2 1 3 _ 9 _ 5 9 _ 5 = ‒ 3 _ 5 = ‒ 0,6  w α = 126,87° Da man üb ® icherweise den spitzen Schnittwinke ® angibt, beträgt dieser 180° – 126,87° = 53,13°. 397. Bestimme den Schnittwinke ® zwischen den Kreis ® inien k 1 und k 2 . a) k 1 [M = (‒ 5 1 ‒ 4); r = 4]; k 2 [M = (0 1 4); r = 9 __ 41 ] b) k 1 [M = (7 1 4); r = 9 __ 37]; k 2 [M = (‒ 2 1 ‒ 3); r = 9 __ 65 ] c) k 1 [M = (2 1 1); r = 9 _ 5]; k 2 [M = (‒1 1 ‒ 3); r = 9 __ 20 ] d) k 1 [M = (1 1 ‒ 3); r = 9 _ 8]; k 2 [M = (‒ 3 1 ‒7); r = 9 __ 72 ] 398. Die kürzeste Verbindung eines Punktes der Kreis ® inie zum Kreismitte ® punkt heißt Radia ® strecke . Argumentiere, ob die fo ® gende Behauptung richtig ist. „Der Schnittwinke ® zweier Kreise entspricht dem Schnittwinke ® , den die beiden Radia ® - strecken zu einem Schnittpunkt der beiden Kreis ® inien einsch ® ießen.“ muster k 1 k 2 S 1 t 1 t 2 α Techno ® ogie An ® eitung Schnittwinke ® Kreis – Kreis 7ue72b Nur zu Prüfzwecken – Eigentum 2 k des Verlags öbv