Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 109 Kreis und Kugel | Tangente an einen Kreis Schnittwinke ® Schnittwinke ® zwischen Kreis ® inie und Gerade A ® s Schnittwinke ® zwischen Gerade g und Kreis ® inie k versteht man den Winke ® , den die Gerade g mit der Tangente t im Schnittpunkt S einsch ® ießt. Es wird üb ® icherweise jener Winke ® a ® s Schnittwinke ® gewäh ® t, für den gi ® t: 0° ª α ª 90°. 386. Unter we ® chem Winke ® schneidet die Gerade g: x – y = ‒10 die Kreis ® inie k: (x + 9) 2 + (y + 3) 2 = 80? Da die Schnittwinke ® an beiden Schnittpunkten g ® eich sind, reicht es, einen Schnittpunkt S zu bestimmen. Für S erhä ® t man z. B. S = (‒ 5 1 5). Nun kann man die G ® eichung der Tangente t in S bestimmen. Man erhä ® t: t: x + 2 y = 5. Absch ® ießend ermitte ® t man mit der Vektorwinke ® forme ® den Winke ® α zwischen dem Richtungsvektor _ À g der Geraden und dem Richtungsvektor _ À t der Tangente. Aus dem Norma ® vektor _ À n g = 2 1 ‒1 3 von g erhä ® t man den Richtungsvektor _ À g = 2 1 1 3 von g. Ebenso erhä ® t man den Richtungsvektor _ À t = 2 2 ‒1 3 der Tangente t. _ À g = 2 1 1 3 ; _ À t = 2 2 ‒1 3 ; cos α = 2 1 1 3 · 2 2 ‒1 3 __ 9 _ 2 · 9 _ 5 = 0,32  w α = 71,57° Da die Norma ® vektoren von zwei Geraden den g ® eichen Winke ® einsch ® ießen wie deren Richtungsvektoren, kann man den Winke ® zwischen zwei Geraden auch aus deren Norma ® vektoren ermitte ® n. 387. Bestimme den Schnittwinke ® , den die Gerade g mit der Kreis ® inie k einsch ® ießt. a) g: x – 5 y = ‒ 33; k: (x – 1) 2 + (y – 2) 2 = 26 d) g: ‒ x – 7y = ‒ 67; k: (x + 4) 2 + (y – 3) 2 = 50 b) g: y = 6; k: x 2 + y 2 + 4 x + 4 y = 65 e) g: ‒ 3 x – 8 y = 0; k: x 2 + y 2 = 292 c) g: x = ‒ 3; k: x 2 + y 2 + 6 x + 8 y = 100 f) g: y = 8; k: x 2 + (y – 8) 2 = 144 388. We ® che besondere Lage haben Kreis ® inie und Gerade zueinander, wenn ihr Schnittwinke ® 1) 90° 2) 0° beträgt? 389. Gegeben ist die Kreisg ® eichung k 1 . Bestimme die Kreisg ® eichung einer Kreis ® inie k 2 , die ihren Mitte ® punkt in M hat und den Kreis k 1 rechtwinke ® ig schneidet. a) k 1 : x 2 + y 2 + 18 x – 10 y = ‒ 56; M = (4 1 4) c) k 1 : x 2 + y 2 – 4 x – 20 y = ‒ 32; M = (2 1 ‒ 3) b) k 1 : x 2 + y 2 + 20 x + 10 y = ‒ 64; M = (2 1 ‒ 3) 390. Gegeben ist die Kreisg ® eichung k 1 . Bestimme die Kreisg ® eichung einer Kreis ® inie k 2 , die ihren Mitte ® punkt in M hat und den Kreis k 1 unter dem Winke ® α = 0° schneidet. a) k 1 : x 2 + y 2 + 18 x – 10 y = ‒ 56; M = (4 1 4) c) k 1 : x 2 + y 2 – 4 x – 20 y = ‒ 32; M = (2 1 ‒ 3) b) k 1 : x 2 + y 2 + 20 x + 10 y = ‒ 64; M = (2 1 ‒ 3) g k M t S α muster TIPP Techno ® ogie An ® eitung Schnittwinke ® Kreis – Gerade f96qv6 Nur zu Prüfzwecken 2 – Eigentum des Verlags öbv