Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

techno- logie 107 Kreis und Kugel | Tangente an einen Kreis 374. Bestimme die G ® eichung der Tangente an den Kreis k im Punkt T. k: (x + 8) 2 + (y – 6) 2 = 68; T = (‒10 1 ‒ 2) Zunächst „spa ® tet“ man die Kreisg ® eichung auf: (x + 8) · (x + 8) + (y – 6) · (y – 6) = 68 Danach setzt man die Koordinaten des Tangentenpunktes T = (‒10 1 ‒ 2) in jewei ® s einen Faktor der Spa ® tform ein und erhä ® t die G ® eichung der Tangente t: t: (‒10 + 8) · (x + 8) + (‒ 2 – 6) · (y – 6) = 68 w t: ‒ x – 4 y = 18 G ® eichung der Tangente an eine Kreis ® inie Tangente[<Punkt>, <Kege ® schnitt>] Beispie ® : Tangente [(‒ 3,0),x 2 + y 2 = 9] x = ‒ 3 375. Bestimme die G ® eichung der Tangente an die Kreis ® inie k im Punkt T. a) T = (‒ 2 1 3); k[M = (2 1 0); r] d) T = (x < 0 1 2); k: (x – 2) 2 + y 2 = 13 b) T = (4 1 ‒ 5); k[M = (‒ 3 1 1); r] e) T = (x > 0 1 ‒1); k: x 2 + y 2 – 10 x + 6 y = 16 c) T = (1 1 y > 0); k: (x – 4) 2 + (y – 1) 2 = 9 f) T = (7 1 y < 0); k: x 2 + y 2 – 14 x – 2 y = ‒ 41 376. Bestimme die G ® eichung der Tangente t im Punkt T an die Kreis ® inie k. a) k: (x + 1) 2 + (y – 2) 2 = 25; T = (‒1 1 y < 0) c) k: x 2 + (y + 1) 2 = 40; T = (2 1 y > 0) b) k: (x – 2) 2 + y 2 = 36; T = (x < 0 1 0) d) k: (x – 3) 2 + (y + 4) 2 = 2; T = (x > 3 1 – 3) 377. Bestimme die G ® eichung der Tangente t im Punkt P an die Kreis ® inie k. a) x 2 + y 2 = 12; P = (2,3 1 y > 0) c) (x – 3,4) 2 + (y + 1,1) 2 = 5 P = (x > 4 1 1) b) x 2 + 3 x + y 2 – 4 y – 24 = 0; P = (x < 0 1 6) d) x 2 + y 2 – 5 y = 10; P = (2 1 y < 0) 378. Vom Punkt P = (‒19 1 2) werden zwei Tangenten an die Kreis ® inie k: (x + 6) 2 + (y – 2) 2 = 117 ge ® egt. Berechne die Koordinaten der Berührpunkte. Um die Koordinaten der Berührpunkte T 1, 2 = (x 1 y) zu berechnen, verwendet man zwei Eigenschaften von T, die jewei ® s auf quadratische G ® eichungen mit den Variab ® en x und y führen: 1. Eigenschaft: Die Vektoren _ À PT und _ À MT stehen norma ® aufeinander: _ À PT © _ À MT w _ À PT · _ À MT = 0 w 2 x + 19 y – 2 3 · 2 x + 6 y – 2 3 = 0 w x 2 + y 2 + 25 x – 4 y + 118 = 0 2. Eigenschaft: T ® iegt auf der Kreis ® inie k: T * k w ( x + 6) 2 + (y – 2) 2 = 117 w x 2 + 12 x + y 2 – 4 y – 77 = 0 Nun ® öst man das G ® eichungssystem: I: x 2 + y 2 + 25 x – 4 y + 118 = 0 II: x 2 + y 2 + 12 x – 4 y – 77 = 0 Man erhä ® t a ® s Lösungsmenge L = {(‒15 1 ‒ 4), (‒15 1 8)}. Es gibt a ® so die zwei Berührpunkte T 1 = (‒15 1 – 4) und T 2 = (‒15 1 8). 379. Vom Punkt P werden zwei Tangenten an die Kreis ® inie k ge ® egt. Berechne die Koordinaten der Berührpunkte. a) P = (‒ 9 1 12); k: (x + 16) 2 + (y – 11) 2 = 25 c) P = (13 1 18); k: (x – 3) 2 + (y – 8) 2 = 40 b) P = (‒ 5 1 11); k: (x – 4) 2 + (y – 20) 2 = 80 d) P = (‒ 8 1 ‒15); k: (x + 8) 2 + (y – 11) 2 = 26 muster Techno ® ogie An ® eitung Tangente an den Kreis 2 ew3h2q muster k t 2 t 1 T 1 T 2 P M Techno ® ogie An ® eitung Tangente an den Kreis 3 aw64ra Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv