Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 106 kompe- tenzen 4.4 Tangente an einen Kreis Lernzie ® e: º Die G ® eichung einer Tangente an einen Kreis bestimmen können º Die Spa ® tform der Tangenteng ® eichung anwenden können º Einen Schnittwinke ® zwischen Gerade und Kreis bestimmen können 370. P ist ein Punkt auf der Geraden g und _ À n ist ein Norma ® vektor von g. Gib die Gerade g in Parameterdarste ®® ung und in a ®® gemeiner Form an. a) P = (5 1 9); _ À n = 2 ‒ 3 1 3 b) P = (0 1 0); _ À n = 2 0 1 3 c) P = (3 1 9); _ À n = 2 2 1 3 371. Bestimme eine norma ® e Gerade n zu der Geraden g. Gib n in Parameterform und a ®® gemeiner Form an. a) g: 2 x – 4 y = 7 c) g: y = ‒ 3 _ 5 x + 1 e) g: X = 2 2 ‒ 3 3 + t 2 ‒ 6 7 3 b) g: y = ‒ 3 d) g: x = 1 f) g: x – y = 0 372. Überprüfe, ob die Vektoren _ À a und _ À b norma ® aufeinander stehen. a) _ À a = 2 ‒ 4 1 3 , _ À b = 2 1 4 3 b) _ À a = 2 12 4 3 , _ À b = 2 1 3 3 c) _ À a = 2 0 1 3 , _ À b = 2 3 0 3 373. T = (7 1 7) ist ein Punkt auf der Kreis ® inie k mit k: (x – 4) 2 + (y – 3) 2 = 25. Bestimme die G ® eichung der Tangente t, die die Kreis ® inie k in T berührt. Da die Tangente t immer norma ® auf den Berührradius r = _ MT steht, ist der Vektor _ À MT ein Norma ® vektor der Tangente t. _ À MT = 2 7 7 3 – 2 4 3 3 = 2 3 4 3 Von der Tangente t ist nun der Punkt T = (7 1 7) und der Norma ® vektor _ À n = 2 3 4 3 bekannt. Man kann a ® so die Norma ® vektorform der Tangente t bestimmen: t: 2 3 4 3 · 2 x y 3 = 2 3 4 3 · 2 7 7 3 w t: 3 x + 4 y = 49 Die Spa ® tform der Tangenteng ® eichung ist eine weitere Mög ® ichkeit, die G ® eichung der Tangente t an eine Kreis ® inie k im Punkt T zu bestimmen. Die Spa ® tform erhä ® t man, indem man die Binome der Kreisg ® eichung k „aufspa ® tet“: k: (x – x M ) 2 + (y – y M ) 2 = r 2 w k: (x – x M ) (x – x M ) + (y – y M ) (y – y M ) = r 2 Daraus erhä ® t man die Tangenteng ® eichung, indem man in jewei ® s einen Faktor die Koordi- naten des Berührpunktes T = ( x T 1 y T ) einsetzt: t: ( x T – x M ) (x – x M ) + ( y T – y M ) (y – y M ) = r 2 Spa ® tform der Tangenteng ® eichung Ein Kreis mit dem Mitte ® punkt M = (x M 1 y M ) und Radius r besitzt im Punkt T = (x T 1 y T ) die Tangente t mit der G ® eichung: t: (x T – x M ) (x – x M ) + (y T – y M ) (y – y M ) = r 2 (Beweis S. 268) vorwissen muster x y 2 4 6 8 10 2 4 6 8 0 k t MT 90° T = (7 1 7) M = (4 1 3) aufspa ® ten der Binome k t r T = (x T 1 y T ) M = (x M 1 y M ) P = (x 1 y) Nur zu Prüfzwecken 1 , – Eigentum des Verlags öbv ‒