Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 103 kompe- tenzen 4.3 Lagebeziehungen von Kreis und Gerade Lernzie ® : º Lagebeziehung zwischen Kreis und Gerade bestimmen können Lagebeziehung Kreis-Gerade Es gibt drei Lagebeziehungen einer Geraden g zu einer Kreis ® inie k: – Sekante : Die Gerade schneidet die Kreis ® inie in zwei Punkten. g ° k = { S 1 ; S 2 } – Tangente : Die Gerade berührt die Kreis ® inie in einem Punkt. g ° k = {T} – Passante : Die Gerade hat mit der Kreis ® inie keinen Punkt gemeinsam. g ° k = { } Die Lagebeziehung zwischen der Kreis ® inie k: (x + 3) 2 + (y + 4) 2 = 25 und der Geraden g: x + y = ‒ 2 kann man bestimmen, indem man deren Schnittpunkte ermitte ® t. Aus der Anzah ® der Schnittpunkte kann man auf die Lagebeziehung sch ® ießen. Um die Schnittpunkte zu ermitte ® n, drückt man aus der Geradeng ® eichung eine Variab ® e aus: y = ‒ 2 – x Diese Variab ® e setzt man nun in die Kreisg ® eichung ein. Man erhä ® t eine quadratische G ® eichung: k: (x + 3) 2 + ( ‒ 2 – x + 4) 2 = 25 w x 2 + 6 x + 9 + x 2 – 4 x + 4 = 25 w 2 x 2 + 2 x – 12 = 0 Die Lösungen dieser quadratischen G ® eichungen entsprechen den x-Werten der Schnittpunkte. Die quadratische G ® eichung 2 x 2 + 2 x – 12 = 0 besitzt die beiden Lösungen x 1 = ‒ 3, x 2 = 2. g ist daher eine Sekante bezüg ® ich k. Die y-Werte der Schnittpunkte ermitte ® t man durch Einsetzen der x-Koordinaten in die Geradeng ® eichung: y 1 = ‒ 2 – (‒ 3) = 1 und y 2 = ‒ 2 – 2 = ‒ 4 w S 1 = (‒ 3 1 1) und S 2 = (2 1 – 4) Hat die quadratische G ® eichung zwei Lösungen, so hande ® t es sich bei g um eine Sekante. Hat die quadratische G ® eichung eine Lösung, so hande ® t es sich bei g um eine Tangente. Hat die quadratische G ® eichung keine Lösung, so hande ® t es sich bei g um eine Passante. 354. Bestimme die Lagebeziehung und gegebenenfa ®® s die Koordinaten der gemeinsamen Punkte von der Kreis ® inie k und der Geraden g. a) g: y = ‒ 2 x – 14; k: (x – 2) 2 + (y – 2) 2 = 85 c) g: x + 2 y = 14; k: (x – 7) 2 + (y + 5) 2 = 50 b) g: 7x + 4 y = 41; k: x 2 + y 2 + 8 x – 2 y = 48 d) g: y = ‒ x – 6; k: x 2 + y 2 – 4 y = 60 Passante Tangente T k Sekante S 2 S 1 x y 2 4 6 8 –8 –6 –4 –2 2 –8 –6 –4 –2 0 S 2 = (2 1 –4) S 1 = (–3 1 1) k M = (–3 1 –4) TIPP Techno ® ogie An ® eitung Lagebeziehung Kreis Gerade p243y8 Nur zu ( Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv