Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

101 kompe- tenzen 4.2 Aufste ®® en von Kreisg ® eichungen Lernzie ® : º Kreisg ® eichungen aus verschiedene Angaben ermitte ® n können 341. Bestimme die Kreisg ® eichung der Kreis ® inie k, auf der die Punkte A, B und C ® iegen. A = (11 1 12), B = (‒ 4 1 9), C = (14 1 ‒ 3) Setzt man die drei Punkte in die Kreisg ® eichung k: 2 x – x M 3 2 + 2 y – y M 3 2 = r 2 ein, erhä ® t man drei G ® eichungen in drei Variab ® en. k: (11 – x M ) 2 + (12 – y M ) 2 = r 2 w I: 121 – 22 x M + x M 2 + 144 – 24 y M + y M 2 = r 2 k: (‒ 4 – x M ) 2 + (9 – y M ) 2 = r 2 w II: 16 + 8 x M + x M 2 + 81 – 18 y M + y M 2 = r 2 k: (14 – x M ) 2 + (‒ 3 – y M ) 2 = r 2 w III: 196 – 28 x M + x M 2 + 9 + 6 y M + y M 2 = r 2 Dieses G ® eichungssystem ® öst man mit Hi ® fe von Techno ® ogieeinsatz und erhä ® t die Lösungen x M = 5; y M = 3 w M = (5 1 3). Der Radius r ist der Abstand zwischen einem Punkt der Kreis ® inie und dem Mitte ® punkt: | _ À AM | = | _ À M – _ À A | = | 2 ‒ 6 ‒ 9 3 | = 9 __ 117 = r w k: (x – 5) 2 + (y – 3) 2 = 117 Da der gesuchte Kreis dem Umkreismitte ® punkt des Dreiecks ABC entspricht, kann man den Mitte ® punkt auch durch Schneiden der Seitensymmetra ® en ermitte ® n. 342. Bestimme die G ® eichung der Kreis ® inie k, auf der die drei Punkte A, B und C ® iegen. a) A = (‒ 4 1 9), B = (2 1 3), C = (‒10 1 3) c) A = (‒ 4 1 9), B = (14 1 9), C = (‒10 1 ‒ 3) b) A = (‒1 1 1), B = (2 1 ‒ 3), C = (‒ 5 1 3) d) A = (0 1 9), B = (1 1 ‒1), C = (‒ 3 1 4) 343. 1) Ermitt ® e die G ® eichung der Kreis ® inie k, auf der die drei Punkte A, B und C ® iegen. 2) Begründe, wie man auch ohne Rechnung die Kreisg ® eichung ermitte ® n kann. a) A = (‒ 8 1 0), B = (8 1 0), C = (0 1 8) b) A = (0 1 0), B = (6 1 6), C = (12 1 0) 344. Über ® ege, warum es keine Kreis ® inie durch die drei Punkte A, B und C geben kann. We ® ches Ergebnis erhä ® tst du beim Einsatz von Techno ® ogie? a) A = (‒ 3 1 0), B = (1 1 0), C = (2 1 0) b) A = (0 1 0), B = (1 1 1), C = (2 1 2) 345. Bestimme die G ® eichung der Kreis ® inie k mit dem Radius r = 9 __ 29, die die Punkte A = (‒1 1 3) und B = (2 1 ‒ 4) enthä ® t. Mit geometrische Über ® egungen erkennt man, dass es zwei passende Kreis ® inien geben muss. Setzt man die zwei Punkte und den Radius r in die Kreisg ® eichung k: (x – x M ) 2 + (y – y M ) 2 = r 2 ein, erhä ® t man zwei G ® eichungen in zwei Variab ® en. k: (‒1 – x M ) 2 + (3 – y M ) 2 = 29 w I: 2 x M + x M 2 – 6 y M + y M 2 = 19 k: (2 – x M ) 2 + (‒ 4 – y M ) 2 = 29 w II: ‒ 4 x M + x M 2 + 8 y M + y M 2 = 9 Dieses G ® eichungssystem ® öst man mit Techno ® ogieeinsatz und erhä ® t: y M 1 = ‒ 2 und y M 2 = 1; x M 1 = ‒ 3 und x M 2 = 4 w M 1 = (‒ 3 1 – 2), M 2 = (4 1 1) Es gibt a ® so zwei passende Kreis ® inien k 1 und k 2 : k 1 : (x + 3) 2 + (y + 2) 2 = 29 und k 2 : (x – 4) 2 + (y – 1) 2 = 29 Techno ® ogie An ® eitung Quadratisches G ® eichungssystem ® ösen ip7f29 muster Arbeitsb ® att Quadratisches G ® eichungssystem ohne Techno ® ogie- einsatz ® ösen 3ms8pp TIPP muster r r r r A B k 2 k 1 M 1 M 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv