Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

100 Kreis und Kugel 4 334. Nicht jede G ® eichung der Form x 2 + y 2 + a x + b y + c = 0mit a, b, c * R beschreibt eine Kreis ® inie. Die G ® eichung x 2 + y 2 + 2 x – 4 y + 6 = 0 beschreibt zum Beispie ® keine Kreis ® inie. Begründe, dass die obige G ® eichung nur dann eine Kreisg ® eichung ist, wenn a 2 + b 2 > 4 c gi ® t. Um mit Hi ® fe der Kreisg ® eichung Punkte auf der Kreis ® inie zu berechnen, kann man eine Koor- dinate frei wäh ® en und die zweite Koordinate mit Hi ® fe der Kreisg ® eichung berechnen. Z. B. P = (x 1 4) w (x + 3) 2 + (4 – 2) 2 = 25 w x 2 + 6 x + 9 + 4 = 25 w x 2 + 6 x – 12 = 0. Die Lösungen dieser G ® eichung ergeben die x-Werte der beiden Punkte P 1 und P 2 , die auf dem Kreis ® iegen und deren y-Wert 4 ist. x 1 ≈ ‒7,58; x 2 ≈ 1,58 w P 1 = (‒7,58 1 4); P 2 = (1,58 1 4) 335. Bestimme die feh ® ende Koordinate von P so, dass P auf der Kreis ® inie k: (x – 2) 2 + (y + 1) 2 = 36 ® iegt. a) P = (x 1 2) b) P = (0 1 y) c) P = (‒1 1 y) d) P = (7 1 y) e) P = (x 1 ‒ 4) 336. Ermitt ® e die Koordinaten dreier Punkte, die auf der Kreis ® inie k ® iegen. a) k: (x – 4) 2 + (y + 3) 2 = 25 c) k: x 2 + y 2 = 36 e) k: 3 x 2 + 3 y 2 = 48 b) k: (x – 1) 2 + y 2 = 4 d) k: (x – 2) 2 + (y – 3) 2 = 9 f) k: x 2 + y 2 = 9 337. Bestimme die Schnittpunkte des Kreises k mit den Koordinatenachsen. a) k: x 2 + y 2 – 12 x – 4 y = 12 b) k: (x + 9) 2 + (y – 10) 2 = 100 c) k: (x – 2) 2 + (y + 2) 2 = 68 338. Ordne den angegebenen Kreis ® inien die passende Eigenschaft zu. A x 2 + (y – 3) 2 = 10 1 Die Kreis ® inie hat den Mitte ® punkt M = (‒ 2 1 ‒ 2). B (x – 2) 2 + (y – 2) 2 = 4 2 Die Kreis ® inie berührt die x-Achse, aber nicht die y-Achse. C (x + 4) 2 + (y – 5) 2 = 25 D x 2 + y 2 = 8 3 Die Kreis ® inie berührt beide Koordinatenachsen. 4 Die Kreis ® inie geht durch den Punkt P = (‒ 4 1 5). 5 M ® iegt auf der y-Achse, aber nicht auf der x-Achse. 6 Die Kreis ® inie geht durch den Punkt P = (0 1 0). Setzt man die Koordinaten des Punktes P = (6 1 7) in den ® inken Term der Kreisg ® eichung k: (x – 3) 2 + (y – 4) 2 = 25 ein, so erhä ® t man den quadratischen Abstand des Punktes P vom Mitte ® punkt M: (x – 3) 2 + (y – 4) 2 = (6 – 3) 2 + (7 – 4) 2 = 18 = ( _ À MP) 2 . Der quadratische Abstand vom Mitte ® punkt ist a ® so 18. Er ist somit k ® einer a ® s das Quadrat des Kreisradius r 2 = 25. P ® iegt a ® so innerha ® b der Kreis ® inie k. 339. Bestimme die Lagebeziehung der Punkte P und Q zur Kreis ® inie k. a) P = (6 1 ‒1), Q = (0 1 2) k: (x – 3) 2 + (y + 1) 2 = 9 b) P = (‒1 1 ‒1), Q = (2 1 3) k: (x + 2) 2 + (y + 4) 2 = 16 340. Der Punkt P = (4 1 3) ® iegt (1) der Kreis ® inie k: x 2 + y 2 = 36 mit Mitte ® punkt M, wei ® (2) . x y 2 4 6 8 10 –2 2 4 6 8 –2 0 k |MP| (6 – 3) (7 – 4) P = (6 1 7) M(3 1 4) r = 5 (1) (2) auf  _ MP < 6  innerha ® b  _ MP < 36  außerha ® b  _ MP < 0  Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv