Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 10 Gleichungen höheren Grades 1 Substitution Das Lösen einer höhergradigen G ® eichung durch Substitution ste ®® t vor a ®® em bei den so genannten biquadratischen G ® eichungen eine geeignete Mög ® ichkeit dar. Biquadratische G ® eichung A ® gebraische G ® eichungen der Art a · x 2n + b · x n + c = 0 mit a, b ≠ 0 und n * N (n º 2) werden a ® s biquadratische G ® eichungen bezeichnet. 14. Kreuze die biquadratischen G ® eichungen an. A  B  C  D  E  3 x 4 + 2 x – 1 = 0 x 4 + x 2  = ‒ 2 6 x 8 – 4 x 4 + x = 0 7x 6 – 3 x 3 + 2 = 0 x 4  + 5 = ‒ x 8 15. Löse die G ® eichung x 4 + 5 x 2 – 36 = 0 in R . Man ersetzt (substituiert) in der G ® eichung x 2 durch u und erhä ® t die quadratische G ® eichung u 2 + 5 u – 36 = 0. Diese G ® eichung wird mit der k ® einen Lösungsforme ® ge ® öst: u 1, 2 = ‒ 5 _ 2 ± 9 ____ 25 _ 4 + 36 = ‒ 5 _ 2 ± 9 __ 169 _ 4 = ‒ 5 _ 2 ± 13 _ 2 ¥ u 1 = ‒ 9 bzw. u 2 = 4 In x 2 = u setzt man für u die Werte ‒ 9 bzw. 4 ein und erhä ® t die Lösungen der G ® eichung: x 2 = ‒ 9 ¥ x 1, 2 = ± 9 __ ‒ 9 + R x 2 = 4 ¥ x 3 = 2 bzw. x 4 = ‒ 2 L = {‒ 2; 2} 16. Löse die G ® eichung durch Substitution in R . a) x 4 – 10 x 2 + 9 = 0 d) x 4 – 7x 2 – 144 = 0 b) x 4 – 3 x 2 – 4 = 0 e) x 4 + 2 x 2 – 15 = 0 c) x 4 + 13 x 2 + 36 = 0 f) x 4 + 18 x 2 + 72 = 0 17. Löse die G ® eichung x 6 + 7x 3 – 8 = 0 in R . Man ersetzt x 3 durch u und erhä ® t u 2 + 7u – 8 = 0. Diese G ® eichung hat die Lösungen u 1 = ‒ 8 und u 2 = 1. Nun werden in x 3 = u die Lösungen ‒ 8 und 1 für u eingesetzt und die G ® eichungen in R ge ® öst: x 3 = ‒ 8 ¥ x 3 + 8 = 0 ¥ nach dem Satz von Horner gi ® t: (x + 2) (x 2 – 2 x + 4) = 0. Nun wird der Produkt-Nu ®® -Satz angewendet: x + 2 = 0 ¥ x 1 = ‒ 2 x 2 – 2 x + 4 = 0 ¥ x 2, 3 = 1 ± 9 ___ 1 – 4 = 1 ± 9 __ ‒ 3 + R x 3 = 1 ¥ x 3 – 1 = 0 ¥ nach dem Satz von Horner gi ® t: (x – 1) (x 2 + x + 1) = 0 Durch Anwendung des Produkt-Nu ®® -Satzes erhä ® t man: x – 1 = 0 ¥ x 4 = 1 x 2 + x + 1 = 0 ¥ x 5, 6 = ‒ 1 _ 2 ± 9 ___ 1 _ 4 – 1 = ‒ 1 _ 2 ± 9 __ ‒ 3 _ 4 + R Die Lösungsmenge ist L = {‒ 2; 1}. 18. Löse die G ® eichung in der Menge R . a) x 6 – 26 x 3 – 27 = 0 c) x 6 + 9 x 3 + 8 = 0 e) x 6 + 217x 3 + 216 = 0 b) x 6 – 9 x 3 + 8 = 0 d) x 6 – 37x 3 – 1728 = 0 f) x 6 + 124 x 3 – 125 = 0 muster muster Techno ® ogie An ® eitung Lösen von G ® eichungen mitte ® s Substitution k95t7a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv