Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

91 Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen | Wachstums- und Abnahmeprozesse modellieren 340. Die Bevö ® kerung E eines Dorfes entwicke ® t sich annähernd exponentie ®® . Die Anzah ® der Einwohner wird durch ein Wachstumsgesetz mode ®® iert (t in Jahren). 1) Um wie vie ® Prozent nimmt die Einwohnerzah ® jähr ® ich zu? 2) Um wie vie ® Prozent nimmt die Einwohnerzah ® in 12 Jahren zu? 3) Nach wie vie ® Jahren wird eine Einwohnerzah ® von 25 000 überschritten? 4) Ste ®® e den Wachstumsprozess auch in der Form E(t) = E 0 · e λ ·t dar. a) E(t) = 1 200 ·1,12 t b) E(t) = 3700 ·1,09 t c) E(t) = 17800 ·1,02 t 341. Die Anzah ® gewisser parasitärer Bakterien wächst in einer Ku ® tur bei 20° C und mäßiger Feuchtigkeit um 12% pro Stunde. Am Beginn der Beobachtungen sind 60 Bakterien vorhanden. N(t) ist die Anzah ® der Bakterien nach t Stunden. a) Ste ®® e das Bakterienwachstum in der Form N(t) = N 0 ·e λ ·t und in der Form N(t) = N 0 ·b t dar. b) Wie vie ® e Bakterien sind nach einem Tag vorhanden? Um wie vie ® Prozent haben sich die Bakterien zu diesem Zeitpunkt vermehrt? c) Nach we ® cher Zeit verdoppe ® t sich die Anzah ® der Bakterien? 342. Von einem radioaktiven Stoff sind zu Beginn 750 000 Atome vorhanden. Die Anzah ® der Atome N(t) nimmt um 13% pro Stunde ab. a) Ste ®® e ein Abnahmegesetz in der Form N(t) = N 0 · e λ ·t und in der Form N(t) = N 0 · b t auf, mit dem man die Anzah ® der Atome zum Zeitpunkt t (in Stunden) berechnen kann. b) Wie vie ® e Atome sind nach zehn Stunden vorhanden? Um wie vie ® Prozent haben sich die Atome zu diesem Zeitpunkt verringert? c) Nach we ® cher Zeit ist noch die Hä ® fte der Atome vorhanden? d) Nach we ® cher Zeit sind noch zehn Prozent der Atome vorhanden? 343. Eine Maschine mit dem Neuwert von 47500 Euro ver ® iert jedes Jahr 15% ihres Werts. a) Ste ®® e ein Abnahmegesetz W für den Wert der Maschine nach t Jahren in der Form W(t) = W 0 · e λ ·t und in der Form W(t) = W 0 · b t auf. b) Berechne den Wert nach 3 und nach 5 Jahren. c) Nach wie vie ® Jahren ist die Maschine nur mehr die Hä ® fte wert? 344. Die Anfangstemperatur eines Körpers T 0 küh ® t im Laufe der Zeit auf seine Umgebungstemperatur T U ab. Dieser Zusammenhang kann durch fo ® genden Abnahmeprozess mode ®® iert werden: T(t) = T U + (T 0 – T U ) · e λ ·t (t in Minuten) T(t) ist die Temperatur des Körpers zum Zeitpunkt t. Die Abküh ® ungskonstante λ ist abhängig vom Materia ® . Die Anfangstemperatur eines Kakaos sei 80°. Die Raumtemperatur sei 21°, die Abküh ® ungskonstante ist ‒ 0,13. a) Berechne die Temperatur des Kakaos nach 2 bzw. 4 Minuten. b) Eine angenehme Trinktemperatur ® iegt bei ca. 55°. Wann hat der Kakao diese Temperatur erreicht? 345. Die Temperaturabnahme einer Tasse Kakao wird in Aufgabe 344 durch eine Exponentia ® - funktion mode ®® iert. Erk ® äre anhand fo ® gender Frageste ®® ung, we ® ches Prob ® em bei einem exponentie ®® en Mode ®® auftreten kann: Wann nimmt der Kakao die Umgebungstemperatur an? Vertiefung 2di3ta Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv