Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

90 6.2 Wachstums- und Abnahmeprozesse mode ®® ieren Lernzie ® e: º Wachstums- und Abnahmeprozesse mode ®® ieren können º Ha ® bwertszeit und Verdoppe ® ungszeit definieren und berechnen können º Lineare und exponentie ®® e Mode ®® e unterscheiden und anwenden Grundkompetenzen für die schrift ® iche Reifeprüfung: FA-R 5.5 Die Begriffe Ha ® bwertszeit und Verdoppe ® ungszeit kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können FA-R 5.6 Die Angemessenheit einer Beschreibung mitte ® s Exponentia ® funktion bewerten können Vie ® e Prozesse wie z. B. Bakterienwachstum, Luftdruckänderung, Kapita ® entwick ® ung, radioak- tiver Zerfa ®® verändern sich exponentie ®® . Man spricht dabei von exponentie ®® en Wachstums- oder Abnahmeprozessen. Diese kann man durch Exponentia ® funktionen mode ®® ieren. Sei N(0) = N 0 der positive Anfangswert und N(t) der Wert zum Zeitpunkt t. Dann gi ® t: N(t) = N 0 · b t bzw. N(t) = N 0 · e λ ·t . Je nachdem, ob ein Wachstums- oder Abnahmeprozess stattfindet, wird λ Wachstums- oder Zerfa ®® skonstante (auch Abnahmekonstante) genannt. Das Monotonieverha ® ten einer Exponentia ® funktion wurde bereits erarbeitet und kann daher auf Wachstums- und Abnahmeprozesse übertragen werden. N(t) = N 0 · b t N(t) = N 0 · e λ ·t Exponentie ®® es Wachstum b > 1 λ > 0 Exponentie ®® e Abnahme 0 < b < 1 λ < 0 339. Die Bevö ® kerungszah ® einer Stadt entwicke ® t sich annähernd exponentie ®® . Die Anzah ® der Einwohner wird durch fo ® gendes Wachstumsgesetz mode ®® iert: E(t) = 7800 ·1,05 t (t in Jahren). a) Um wievie ® Prozent nimmt die Einwohnerzah ® jähr ® ich zu? b) Um wievie ® Prozent nimmt die Einwohnerzah ® in 10 Jahren zu? c) Nach wie vie ® en Jahren wird eine Einwohnerzah ® von 22 000 überschritten? a) Aufgrund der Wachstumskonstante b = 1,05 kann man ab ® esen, dass die Einwohnerzah ® jähr ® ich um 5 Prozent zunimmt. b) Die Einwohnerzah ® ändert sich nach 10 Jahren um den Faktor 1,05 10 = 1,62889. Daher ist die Einwohnerzah ® um ca. 62,9% gestiegen. c) Um die Anzah ® der Jahre zu berechnen, muss eine Exponentia ® g ® eichung ge ® öst werden. E(t) = 22 000 w 22 000 = 7800 ·1,05 t | : 7800 22 000 _  7800 = 1,05 t | ® ogarithmieren ® og 2  22 000 _  7800 3 = ® og(1,05 t ) w ® og 2  22 000 _  7800 3 = t · ® og(1,05) w t = ® og 2  22000 _  7800 3 __  ® og(1,05)  ≈ 21,2526 Jahre Laut Mode ®® ® eben nach ca. 22 Jahren mehr a ® s 22 000 Einwohner in dieser Stadt. kompe- tenzen Techno ® ogie Darste ®® ung q3n2s4 muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv