Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

77 Potenzfunktionen und Polynomfunktionen Training Vernetzung – Typ-2-Aufgaben 288. Johannes Kep ® er hat Anfang des 17. Jahrhunderts seine drei  Kep ® erschen Gesetze veröffent ® icht. Mit Hi ® fe des dritten Kep ® erschen Gesetzes wird die Größe des Sonnensystems bestimmbar. Die P ® aneten bewegen sich e ®® ipsenförmig um die Sonne. Zur Vereinfachung werden die P ® anetenbahnen a ® s kreis- förmig um die Sonne angenommen. Das dritte Kep ® ersche Gesetz ® autet: Für die Um ® aufzeiten T 1 bzw. T 2 zweier P ® aneten (Dauer für eine vo ®® ständige Umrundung der Sonne in Tagen) und ihre beiden Abstände r 1 bzw. r 2 zur Sonne (in km) gi ® t: 2 T 1 _ T 2 3 2 = 2 r 1 _ r 2 3 3 a) Die Um ® aufzeit der Erde ist mit 365,26 Tagen gegeben. Der Abstand der Erde von der  Sonne ist ca. 1,5 ·10  8  km. Der Mars benötigt für eine Umrundung der Sonne ca. 687 Tage.  Berechne die Entfernung des P ® aneten Mars von der Sonne. b) Ste ®® e eine Forme ® r 2 (T 2 ) auf und interpretiere ihre Bedeutung. Der gegebene Ausdruck ist eine Funktion der Form f(x) = a x r + b. Gib die Werte der Parameter a, r und b an. c) Je größer die Entfernung eines P ® aneten zur Sonne ist, umso größer ist seine Um ® aufzeit.  Begründe diesen Satz mit Hi ® fe des Kep ® erschen Gesetzes. Berechne weiters die Bahnge- schwindigkeit eines P ® aneten mit Um ® aufzeit T 1 und Radius r 1 nach diesem Mode ®® . 289. Eine Kostenfunktion K(x) beschreibt die auftretenden Kosten K in Abhängigkeit von der produzierten Stückanzah ® x. Die Stückkostenfunktion beschreibt die Kosten pro Stück. Eine ertragsgesetz ® iche Kostenfunktion besitzt fo ® gende Eigenschaften: Zuerst steigen die Kosten rasch an, wird die Produktion weiter ausgedehnt, wachsen die Kosten ® angsamer (z. B. aufgrund von Mengenrabatt). Wird die Stückanzah ® weiter erhöht, dann steigen die Gesamtkosten wieder rascher an (z. B. aufgrund von zusätz ® ichen Maschinen). Eine ertragsgesetz ® iche Kostenfunktion wird oft a ® s eine Po ® ynomfunktion dritten Grades f(x) = a x 3 + b x 2 + c x + d mit den Eigenschaften a, c > 0, d º 0 und b 2  < 3 a c beschrieben. Gegeben ist die Kostenfunktion K(x) = 0,1 x 3  – 5 x  2  + 85 x + 120. a) Überprüfe, dass K(x) eine ertragsgesetz ® iche Kostenfunktion ist. b) Berechne K(0) und interpretiere das Ergebnis im gegebenen Kontext. c) Gib die Stückkostenfunktion an. d) Die Po ® ynomfunktion K eignet sich unter anderem a ® s ertragsgesetz ® iche Kostenfunktion, da sie keine Extremwerte besitzt. Gegeben sind Aussagen über Po ® ynomfunktionen dritten Grades. Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an. A Po ® ynomfunktionen dritten Grades besitzen keine Extremste ®® en.  B Po ® ynomfunktionen dritten Grades besitzen immer genau zwei Extremste ®® en.  C Besitzt eine Po ® ynomfunktion dritten Grades nur eine Nu ®® ste ®® e, dann besitzt sie keine Extremwerte.  D Po ® ynomfunktionen dritten Grades besitzen höchstens 2 Extremste ®® en.  E Po ® ynomfunktion dritten Grades besitzen mindestens eine und höchstens drei Nu ®® ste ®® en.  Typ 2 Typ 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv