Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 70 Potenzfunktionen und Polynomfunktionen 5 In Lösungswege 5 wurden bereits quadratische Funktionen und die Auswirkungen der  Parameter a, m, n der Funktion f(x) = a · (x – m) 2 + n auf die Normparabe ® erarbeitet. Dieses Wissen und die Erkenntnisse über Potenzfunktionen der Form f(x) = x r können nun auf Funk- tionen der Form f(x) = a · x r  + b, a ≠ 0, a, b  * R übertragen werden. In den beiden Abbi ® dungen sieht man die Funktionen f mit f(x) = a · x 3 + b und g mit g(x) = a · x ‒3  + b mit den Parametern a = 1; ‒1; 0,1; 6 und b = 0: Für |a| > 1 wird die ursprüng ® iche Potenzfunktion ent ® ang der y-Achse gestreckt. (Z. B. jeder Funktionswert von 6 x 3 ist 6 ma ® so groß wie der Funktionswert von x 3 .) Für |a| < 1 wird die ursprüng ® iche Potenzfunktion ent ® ang der y-Achse gestaucht. (Z. B. jeder Funktionswert von 0,1 x 3 ist ein Zehnte ® des Funktionswerts von x 3 .) Fa ®® s a negativ ist, so wird der Graph an der x-Achse gespiege ® t. In nebenstehender Abbi ® dung sieht man drei Funktionen der Form f(x) = a · x 3  + b mit den Parametern a = 1 und b = ‒ 2; 0; 2.  Man kann erkennen, dass b eine Verschiebung ent ® ang der y-Achse bewirkt. Wirkung der Parameter a, b einer Funktion f mit f(x) = a · x r + b, r * Z , a,b * R , a ≠ 0 – Ist |a| > 1 wird die ursprüng ® iche Potenzfunktion f(x) = x r ent ® ang der y-Achse gestreckt. – Ist |a| < 1 wird die ursprüng ® iche Potenzfunktion f(x) = x r ent ® ang der y-Achse gestaucht. – b bewirkt eine Verschiebung des Graphen von f(x) = a · x r ent ® ang der y-Achse. 269. Gegeben ist der Graph einer Funktion der Form f(x) = a · x r + b, r * Z , ‒ 4 ª r ª 4. Bestimme die Werte der Parameter a, b und r. Anhand des Graphen erkennt man, dass der Exponent positiv und gerade sein muss. Man nimmt z. B. r = 2 an und kann ansch ® ießend seine Annahme überprüfen. Weiters ist zu erkennen, dass der Graph um 3 Einheiten nach oben  verschoben wurde, somit gi ® t: b = 3 Da der Graph durch den Punkt (2 1 ‒ 5) geht, kann man diese  Koordinaten für x und y einsetzen: f(x) = a x 2  + 3  w  f(2) = 4 a + 3 = ‒ 5  w  a = ‒ 2 Die Funktionsg ® eichung ® autet daher: f(x) = ‒ 2 x  2  + 3 Um sicher zu gehen, dass die Annahme r = 2 stimmt, kann man noch weitere Punkte über- prüfen (z. B. f(1) = 1, …). Techno ® ogie Darste ®® ung 9db3uh x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 − x 3 0,1x 3 6x 3 x 3 x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 − x − 3 x − 3 0,1x − 3 6x − 3 x y 2 4 –4 –2 2 4 –4 –2 0 x 3 x 3 + 2 x 3 − 2 x f(x) 1 2 3 4 5 –4 –2 1 2 3 4 –6 –5 –4 –3 –2 – 1 0 f Arbeitsb ® att 78f7we muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv