Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 46 Untersuchen reeller Funktionen 4 Monotonie von Funktionen Sei f: D ¥ R eine ree ®® e Funktion und A eine Tei ® menge von D. Die Funktion f heißt streng monoton steigend in A, wenn für a ®® e x 1 , x 2 * A gi ® t: x 1 < x 2 w f(x 1 ) < f(x 2 ) (d. h. die Funktionswerte werden größer) x f(x) 0 f(x 1 ) x 1 < x 2 x 1 x 2 A f(x 2 ) f(x 1 ) < (x 2 ) f streng monoton fa ®® end in A, wenn für a ®® e x 1 , x 2 * A gi ® t: x 1 < x 2 w f(x 1 ) > f(x 2 ) (d. h. die Funktionswerte werden k ® einer) x f(x) 0 f(x 2 ) x 1 < x 2 x 1 x 2 A f(x 1 ) f(x 1 ) > (x 2 ) f monoton steigend in A, wenn für a ®® e x 1 , x 2 * A gi ® t: x 1 < x 2 w f(x 1 ) ª f(x 2 ) (d. h. die Funktionswerte werden größer oder b ® eiben g ® eich) x f(x) 0 x 1 < x 2 x 1 f x 2 A f(x 1 ) ª (x 2 ) monoton fa ®® end in A, wenn für a ®® e x 1 , x 2 * A gi ® t: x 1 < x 2 w f(x 1 ) º f(x 2 ) (d. h. die Funktionswerte werden k ® einer oder b ® eiben g ® eich) x f(x) 0 x 1 < x 2 x 1 f x 2 A f(x 1 ) º (x 2 ) konstant in A, wenn für a ®® e x 1 , x 2 * A gi ® t: x 1 < x 2 w f(x 1 ) = f(x 2 ) (d. h. die Funktionswerte b ® eiben g ® eich) x f(x) 0 x 1 < x 2 x 1 f x 2 A f(x 1 ) = (x 2 ) Ist eine Funktion f in einer Tei ® menge A der Definitionsmenge weder (streng) monoton steigend noch (streng) monoton fa ®® end, dann sagt man f ist in A nicht monoton . 194. Skizziere den Graphen einer Funktion f: [‒ 3; 5] ¥ R mit fo ® genden Eigenschaften. a)  f ist streng monoton steigend in [‒ 3; 0] und [3; 5] bzw. streng monoton fa ®® end in [0; 3]. b) f ist streng monoton fa ®® end in [‒ 3; ‒1] und [4; 5] bzw. streng monoton steigend in [‒1; 4]. c)  f ist konstant in [‒ 3; 3] bzw. monoton fa ®® end (aber nicht streng monoton) in [3; 5]. 195. Bestimme das Monotonieverha ® ten der Funktion f im Interva ®® 1)  [a; b]  2)  [b; c]  3)  [b; d]  4)  [a; d]. 1) Da die Funktionswerte im Interva ®®  [a; b] für  größer werdende x-Werte k ® einer werden, ist f in [a; b] streng monoton fa ®® end. 2) Da die Funktionswerte im Interva ®®  [b; c] für größer werdende x-Werte g ® eich b ® eiben, ist f in [b; c] konstant. 3) Da die Funktionswerte im Interva ®®  [b; d] für größer werdende x-Werte entweder g ® eich b ® eiben oder größer werden, ist f in [b; d] monoton steigend, aber nicht streng monoton. 4) Da die Funktionswerte im Interva ®®  [a; d] für größer werdende x-Werte sowoh ® k ® einer a ® s auch größer werden, ist f in [a; d] nicht monoton. muster x f(x) b c d a 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum D d s Verlags öbv