Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

39 Ungleichungen | Ungleichungen mit Fallunterscheidungen 172. Löse die Ung ® eichung (2 x + 4) (x – 8) > 0mit der Grundmenge G = R . Kontro ®® iere graphisch. Fa ®® 1 : Das Produkt ist positiv, wenn beide Faktoren positiv sind. d. h.  2 x + 4 > 0 ?  x – 8 > 0   x > – 2 ?  x > 8    L 1  = ]8; • [ A ®® e x, die größer a ® s 8 sind, sind auch größer a ® s ‒ 2! Fa ®® 2 : Das Produkt ist positiv, wenn beide Faktoren negativ sind. d. h.  2 x + 4 < 0 ?  x – 8 < 0   x < – 2 ?  x < 8    L 1  = ]‒ • ; ‒ 2[ A ®® e x, die k ® einer a ® s ‒ 2 sind, sind auch k ® einer a ® s 8. Die Lösungsmenge L ist die Vereinigung der Tei ®® ösungen: L = (‒ • ; ‒ 2) ± (8; • ) Die graphische Darste ®® ung zeigt, dass im Bereich von L der Graph der Parabe ® über der x-Achse, d. h. im positiven Bereich, ver ® äuft. 173. Löse die Ung ® eichung mit G = R . a)  (x – 3) (x – 2) > 0  b)  (x – 2) (x + 6) > 0  c) x 2  – 4 x º 0  d) x 2  – 25 > 0 174. Löse die Ung ® eichung mit G = R . Kontro ®® iere mit einer graphischen Darste ®® ung. a) x 2  + 3 x – 4 > 0  b)  ‒ x 2 + 3 x + 10 º 0 c)  2 x 2  – 5 x – 12 º 0  d)  ‒ 4 x 2  – 23 x + 6 > 0 Bruchung ® eichungen Treten in einer Ung ® eichung Bruchterme auf, spricht man von Bruchung ® eichungen . Beim Lösen so ® cher Ung ® eichungen muss man wieder Fa ®® unterscheidungen vornehmen. 175. Löse die Bruchung ® eichung 1 _ x + 2  < 2 mit G = R . Kontro ®® iere graphisch. Da der Nenner nicht nu ®® sein darf, bestimmt man zuerst die Definitionsmenge: x + 2 ≠ 0  ¥  x ≠ ‒ 2 d. h. D = R \{‒ 2}. Um die Ung ® eichung bruchfrei zu machen, wird mit dem Nenner mu ® tip ® iziert. Da dieser je nach Be ® egung für x positiv oder negativ sein kann, muss eine Fa ®® unterscheidung gemacht werden, wei ® sich das Ung ® eichheitszeichen ändern kann. Fa ®® 1 :  x + 2 > 0  1 _ x + 2  < 2    ‡ · (x + 2)   x > – 2     1 < 2 (x + 2) ¥  x > ‒1,5 Es gi ® t:  x > ‒ 2 ?  x > ‒1,5 d. h.   L 1 = (‒1,5; • ) Fa ®® 2 :  x + 2 < 0  1 _ x + 2  < 2    ‡ · (x + 2) < 0   x < – 2 1    1 > 2 (x + 2)  Änderung der Re ® ationszeichens.   x < ‒1,5 Es gi ® t  x < ‒ 2 ?  x < ‒1,5, d. h.   L 2 = (‒ • ; ‒ 2) . Die Lösungsmenge L ist die Vereinigung der Tei ®® ösungen: L = (‒ • ; ‒ 2) ± (‒1,5; • ) ± : Vereinigung Die Grafik bestätigt, dass im Bereich von L die Funktionswerte k ® einer a ® s 2 und im Bereich (‒ 2; ‒1,5) größer oder g ® eich 2 sind. 176. Löse die Ung ® eichungen mit G = R . Kontro ®® iere graphisch. a) 2 _ x – 3  < 4  b) 1 _ 2 x – 4  > 2  c) x _ 3 x + 9 < 0 d) 2 x _ x + 4  ª 6  e) 5 x _ 2 x + 6 > 1 f) 7 _ 2 – x > 5 muster x y 2 4 6 8 10 –4 –2 20 –40 –20 0 Arbeitsb ® att Bruch- ung ® eichungen ® ösen Lösungen in Graphen einzeichnen ey49xy muster x y 1 –4 –3 –2 – 1 1 2 –2 – 1 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv