Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

29 Logarithmus und Exponentialgleichungen | Exponentialgleichungen Anwendungsaufgaben 129. Die Masse einer Ku ® tur von Hefepi ® zen verdreifacht sich pro Stunde. N t = N 0 · 3 t beschreibt die Masse der Hefeku ® tur nach t Stunden. Bestimme die Verdopp ® ungszeit. Nach t Stunden ist die Anfangsmasse N 0 auf 2N 0 angewachsen, d. h. N t = 2N 0 . 2N 0 = N 0 · 3 t | : N 0 2 = 3 t Die Verdopp ® ungszeit ist von der Anfangsmasse unabhängig. ® og 2 = t ® og 3 Lösen der Exponentia ® g ® eichung durch Logarithmieren. t ≈ 0,63 Stunden  ≈ 38 Minuten  Nach rund 38 Minuten hat sich die Masse  verdoppe ® t. 130. Für die Anzah ® N(t) von Bakterien nach t Stunden gi ® t N t = 5 000 ·1,25 t . a) Wie vie ® e Bakterien sind nach drei Stunden vorhanden? b) Nach we ® cher Zeit ist die Anzah ® der Bakterien auf 50 000 angewachsen? 131. Die Stärke von Erdbeben wird meist auf der Richterska ® a angegeben. Es wird der Aussch ® ag gemessen, den ein Erdbeben auf einem Messgerät (Seismograph) verursacht und die Magnitude M (Maß für die Stärke des Erdbebens) ermitte ® t. Für die bei einem Beben der Stärke M freigesetzte Energie E M in Ki ® ojou ® e (kJ) gi ® t: E M = 63 ·10 1,5·M . a) Bestimme die Energie, die bei einem Beben der Stärke 2 freigesetzt wird. b) Bei einem Beben wird eine Energie von 63 000 000 kJ gemessen. Ermitt ® e die Magnitude M dieses Bebens. c) Vergrößert sich die Magnitude M um 2, erhöht sich die freigesetzte Energie um den Faktor 1 000. Begründe dies mithi ® fe der Rechenrege ® n für Potenzen. 132. Der deutsche Psycho ® ogie Hermann Ebbinghaus (1850 –1909) hat das mensch ® iche Erinnerungs- vermögen untersucht. Die sogenannte Verges- senskurve a ® s ein Ergebnis seiner Forschungen wird durch die G ® eichung W t = 35 __ 1 – 0,65 · e ‒1,24·t  (t: Zeit in Stunden, W t : vorhandenes Wissen nach t Stunden in Prozent) mathematisch beschrieben. a) Bestimme das 20 Minuten nach dem Lernen abrufbare Wissen in Prozent. b) Nach we ® cher Zeit sind noch 40% des Er ® ernten abrufbar? Exponentia ® g ® eichung und Logarithmus Eine G ® eichung der Art a x = b mit a, b * R +  und a ≠ 1 wird a ® s Exponentia ® g ® eichung bezeichnet. Sie besitzt immer genau eine Lösung x * R . a x = b É x = ® og a b mit a * R + \ {1}, b * R + Die Lösung x der Exponentia ® g ® eichung heißt Logarithmus von b zur Basis a (b wird dabei a ® s Numerus bezeichnet). Rechenrege ® n für Logarithmen (a, b, c * R + , r * R ) ® og a (b · c) = ® og a b + ® og a c ® og a (b : c) = ® og a b – ® og a c ® og a (b r ) = r · ® og a b muster Techno ® ogie Lösen von ® ogarithmischen G ® eichungen + AB h58p55 zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv