Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

276 Beweise Anhang Beweise Vektoren im Raum Vektorprodukt (Kreuzprodukt) _ À a × _ À b = 2 x a y a z a 3 × 2 x b y b z b 3 = 2 y a z b – z a y b ‒ (x a z b – z a x b ) x a y b – y a x b 3 _ À a, _ À b * R ³ _ À a × _ À b stehen norma ® auf _ À a und _ À b. Um zu zeigen, dass das Vektorprodukt _ À a × _ À b = 2 x a y a z a 3 × 2 x b y b z b 3 = 2 y a z b – z a y b ‒ (x a z b – z a x b ) x a y b – y a x b 3 norma ® auf die beiden Ausgangsvektoren _ À a = 2 x a y a z a 3 und _ À b = 2 x b y b z b 3 steht, verwendet man das Orthogona ® itätskriterium und zeigt, dass die Ska ® arprodukte (  _ À a × _ À b) · _ À a und (  _ À a × _ À b) · _ À b nu ®® ergeben. (  _ À a × _ À b) · _ À a = 2 y a z b – z a y b ‒ (x a z b – z a x b ) x a y b – y a x b 3 2 x a y a z a 3  = (y a z b – z a y b ) x a  + (‒ x a z b + z a x b ) y a  + (x a y b – y a x b ) z a = = y a z b x a – z a y b x a – x a z b y a + z a x b y a + x a y b z a – y a x b z a = 0 (  _ À a × _ À b) · _ À b = 2 y a z b – z a y b ‒ (x a z b – z a x b ) x a y b – y a x b 3 2 x b y b z b 3  = (y a z b – z a y b ) x b  + (‒ x a z b + z a x b ) y b  + (x a y b – y a x b ) z b = = y a z b x b – z a y b x b – x a z b y b + z a x b y b + x a y b z b – y a x b z b = 0 q. e. d Die Eigenschaften des Vektorproduktes Der Betrag des Vektorproduktes ist genauso groß wie die F ® äche des Para ®® e ® ogramms, das von den Ausgangsvektoren aufgespannt wird: A = | _ À a × _ À b | Für den Beweis wird die vektorie ®® e F ® ächenforme ® eines Dreiecks verwendet: Für den F ® ächeninha ® t des von _ À a und _ À b aufgespannten Dreiecks gi ® t A Dreieck = 1 _ 2 · 9 ________ _ À a 2 · _ À b 2  –  (  _ À a · _ À b) 2 Daher gi ® t für die F ® äche des von _ À a und _ À b aufgespannten Para ®® e ® ogramms: A Para ®® e ® ogramm = 9 ________ _ À a 2 · _ À b 2  –  (  _ À a · _ À b) 2 q. e. d 10 S.163 Satz BEWEIS S.164 Satz BEWEIS b a b a Nur zu Prüfzwecken 2 x – Eigentum des Verlags öbv