Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 268 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 15 Satz von Bayes Zwö ® f Wochen nach einer mög ® ichen Infizierung erkennt der ELISA-Test zwar 95% a ®® er an HIV Infizierten, zeigt jedoch auch bei 0,49% der Nicht-Infizierten ein positives Ergebnis. In Österreich sind derzeit rund 0,09% der Menschen mit dem HI-Virus infiziert. Jemand hat einen positiven Test. Wie groß ist nun die Wahrschein ® ichkeit, dass diese Person tatsäch ® ich infiziert ist? Gefragt ist a ® so die Wahrschein ® ichkeit P(i 1 p). Diese kann man aus dem Baumdiagramm nicht direkt ab ® esen. Man kann sie aber berechnen. P(i 1 p) = P(i ? p) _ P(p) (Satz von der bedingten Wahrschein ® ichkeit) P(i ? p) kann man aus dem Baum berechnen: P(i ? p) = 0,0009 · 0,95 = 0,000855. Die Wahrschein ® ichkeit P(p), dass der Test positiv ausfä ®® t, entspricht zwei Wegen (rot) im Baumdiagramm. P(p) = P(i) · P(p 1 i) + P(¬ i) · P(p 1 ¬ i) = 0,0009 · 0,95 + 0,9991 · 0,0049 = 0,00575 Daraus erhä ® t man: P(i 1 p) = P(i ? p) _ P(p) = 0,000855 __ 0,00575  ≈ 0,1487. Die Wahrschein ® ichkeit bei einem positiven Testergebnis infiziert zu sein, beträgt a ® so nur 15%. Die Erkenntnisse aus dem Beispie ® können zu fo ® gendem Satz zusammengefasst werden. Satz von Bayes P(A 1 B) = P(B ? A) __ P(B) = P(A) · P(B 1 A) ____ P(A) · P(B 1 A) + P(A´) · P(B 1 A´) wobei man annimmt, dass P(B ? A) = P(A ? B). Die geringe Wahrschein ® ichkeit mag vie ®® eicht überraschen. Betrachtet man das Beispie ® mit abso ® uten Zah ® en, so kann man das Ergebnis besser verstehen. Es gibt derzeit ca. 8,5Mio Österreicher und Österrei- cherinnen. Davon sind 0,09% mit dem HI-Virus infiziert, das sind ca. 0,0009 · 8,5 ·10 6 = 7650 Einwohner. Ein positives Testergebnis erhä ® t man bei 95% der Infizierten (0,95 ·7650 ≈ 7268  Personen) und bei 0,49% der Nicht-Infizierten (0,0049 · 8 500 000 = 41 650 Personen), a ® so bei insgesamt 48 918 Einwohnern. Der Antei ® der infizierten Personen mit positiven Test an a ®® en positiven Tests ist a ® so eher gering: 7268 : 48 918 ≈ 0,15 = 15%. grün: Wahrscheinlichkeiten aus der Angabe P(p ‡ i) = 0,95 P(p ‡ ¬i) = 0,0049 P(i ? p) = 0,0009·0,95 P(¬ i ? p) P(i) = 0,09% = 0,0009 P( ¬ i) = 0,9991 i p n p n ¬ i i infiziert ¬i nicht infiziert p Test positiv n Test negativ A P(A) P(A‘) B P(B ‡ A) P(A ? B) P(A ? B‘) P(A‘ ? B) P(A‘ ? B‘) P(B‘ ‡ A) P(B ‡ A‘) P(B‘ ‡ A‘) B‘ B B‘ A‘ 7268 infiziert und Test positiv 48 918 Test positiv 7650 infiziert Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv