Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

266 kompe- tenzen 15.2 Bedingte Wahrschein ® ichkeiten berechnen Lernzie ® e: º Bedingte Wahrschein ® ichkeiten berechnen können (WS-L 2.5) º Den Satz von Bayes kennen und anwenden können Bedingte Wahrschein ® ichkeiten im Baumdiagramm In einem Betrieb arbeiten 20 Männer (M) und 80 Frauen (F). 40% der Männer und 70% der Frauen gaben an, ihren Ur ® aub in Österreich zu verbringen (Ö). Die Abbi ® dung zeigt das passende Baum- diagramm. Die angegebene Wahrschein ® ichkeit der grünen Äste sind bedingte Wahrschein ® ichkeiten. P(Ö 1 M) = 0,4 ist z. B. die Wahrschein ® ichkeit, den Ur ® aub in Österreich zu verbringen unter der Bedingung, ein Mann zu sein Da man die Wahrschein ® ichkeit, ein Mann zu sein und den Ur ® aub in Österreich zu verbringen, fo ® gendermaßen berechnet: P(M ? Ö) = 0,2 · 0,4 = P(M) · P(Ö 1 M), ergibt sich für die bedingte Wahrschein ® ichkeit fo ® gende Forme ® : Berechnung einer bedingten Wahrschein ® ichkeit (Satz von der bedingten Wahrschein ® ichkeit) P(B 1 A) = P(A ? B) __ P(A) 1014. In einer Schu ® e wurden 920 Schü ® er und 80 Lehrpersonen zum Thema „socia ® media“ befragt. 84% a ®® er Befragten gaben an, Schü ® er zu sein und „Facebook“ zu benutzen und 5% der Befragten gaben an, Lehrer zu sein und „Facebook“ nicht zu benutzen. a) Bestimme den Antei ® der Schü ® er, die „Facebook“ benutzen. b) Bestimme den Antei ® der Lehrpersonen, die „Facebook“ benutzen. a) Der Antei ® der Schü ® er, die Facebook benutzen, bezeichnet man mit der bedingten Wahrschein ® ichkeit P(fb 1 S). P(fb 1 S) kann man aus dem Mu ® tip ® ikationssatz berechnen: 0,92 · P(fb 1 S) = 0,84 w P(fb 1 S) ≈ 0,91. Ca. 91% der Schü ® er benutzen Facebook. 0,4 = P(Ö ‡ M) P(Ö ? M) = 0,2·0,4 = 0,08 0,6 = P(¬Ö ‡ M) P(M) = 0,2 P(F) = 0,8 F M Ö ¬Ö Ö ¬Ö 0,7 = P(Ö ‡ F) 0,3 = P(¬Ö ‡ F) Merke P(A und B) = P(A ? B) = P(A)·P(B ‡ A) P(A) P(A‘) A B B B‘ B‘ P(B ‡ A) P(B‘ ‡ A) P(B ‡ A‘) P(B‘ ‡ A‘) A‘ muster 0,92 0,08 S fb P(S ? fb) = 0,84 P(L ? ¬ fb) = 0,05 ¬ fb fb ¬ fb P(fb ‡ S) P(fb ‡ L) 0,625 = P( ¬ fb ‡ L) L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv