Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 26 Logarithmus und Exponentialgleichungen 2 111. Bestimme die Lösung der Exponentia ® g ® eichung. a) 10 x = 3 b) e x = 5 a) Man gibt die Lösung in ® ogarithmischer Schreibweise an und berechnet den Wert mit Techno ® ogie: x = ® og 10 3 = ® g 3 ≈ 0,4771. b) Für die Lösung der G ® eichung gi ® t: x = ® og e 5 = ® n 5 ≈ 1,6094. 112. Bestimme die Lösung der Exponentia ® g ® eichung mit Techno ® ogie. a) 10 x = 0,5 b) 10 x = 1 _ 20 c) 10 x = 2,5 d) e x = 0,45 e) e x = 1,8 f) e x = 2 _ 3 Rechenrege ® n für Logarithmen Für das Rechnen mit Logarithmen kann man durch Anwendung der Potenzrege ® n die fo ® genden Zusammenhänge erkennen. Rechenrege ® n für Logarithmen (a, b, c * R + , r * R ) ® og a (b · c) = ® og a b + ® og a c ® og a 2 b _ c 3 = ® og a b – ® og a c ® og a (b r ) = r · ® og a b Da Logarithmen Exponenten darste ®® en, können die Rege ® n für das Mu ® tip ® izieren, Dividieren und Potenzieren von Logarithmen von den Rechenrege ® n für Potenzen herge ® eitet werden. Dazu verwendet man den Zusammenhang a ® og a b = b bzw. a ® og a c = c. Im Ausdruck ® og a (b · c) werden die Faktoren durch die entsprechenden Potenzen ersetzt: ® og a (b · c) = ® og a (a ® og a b · a ® og a c ) Potenzen mit g ® eicher Basis werden mu ® tip ® iziert, indem man die Exponenten addiert: ® og a (b · c) = ® og a (a ® og a b · a ® og a c ) = ® og a a ® og a b + ® og a c = ® og a b + ® og a c (da ® og a a x = x). 113. Zeige die Gü ® tigkeit der Rechenrege ® für Logarithmen. a) ® og a 2 b _ c 3 = ® og a b – ® og a c b) ® og a (b r ) = r · ® og a b (a, b, c * R + , r * R ) Der Einfachheit ha ® ber wird in den fo ® genden Beispie ® en die Basis bei den Logarithmen wegge ® assen. 114. Schreibe a ® s Summe bzw. Differenz von Logarithmen. Verwende die Rechenrege ® n für Logarithmen. a) ® og 2 4 x 3 _ y z 5 3 b) ® og 3 9 __ x y 2 a) ® og 2 4 x 3 _ y z 5 3 = ® og (4 x 3 ) – ® og(y z 5 ) = ® og 4 + ® og x 3 – ( ® og y + ® og z 5 ) = = ® og 4 + 3 ® og x – ® og y – 5 ® og z b) ® og 3 9 __ x y 2 = ® og 2 x y 2 3 1 _ 3 = 1 _ 3 ® og (x y 2 ) = 1 _ 3 ( ® og x + ® og y 2 ) = 1 _ 3 ( ® og x + 2 ® og y) Die Logarithmen der Faktoren im Zäh ® er haben positive, die Logarithmen der Faktoren im Nenner immer negative Vorzeichen. 115. Schreibe a ® s Summe bzw. Differenz von Logarithmen. a) ® og (a b) b) ® og 2 a _ b 3 c) ® og (2 b 3 ) d) ® og (a 3 b 4 ) e) ® og 2 a 4 _ b 2 3 f) ® og 2 3 a b 7 _ c 4 3 g) ® og 2 a + b _ c – d 3 muster muster TIPP Nur zu Prüfzwecken g g g ) g – Eigentum 2 des g Verlags öbv