Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

techno- logie Merke Merke 25 Logarithmus und Exponentialgleichungen | Logarithmus 109. Begründe für a * R + \ {1}. a) ® og a 0 kann nicht bestimmt werden. b) ® og a 1 = 0 c) ® og 10 a < 0 für 0 < a < 1 Neben der Kreiszah ® π = 3,141592654… gibt es in der Mathematik noch eine weitere wichtige Konstante, die nach dem Mathematiker Leonard Eu ® er (1707–1783) benannt ist. Eu ® er’sche Zah ® : e = 2,718281828… Die Zah ® e ist wie π eine irrationa ® e Zah ® , d. h. sie ® ässt sich nicht a ® s Bruch darste ®® en, und man kann damit natür ® iche Wachstums- und Abnahmeprozesse beschreiben. So ® assen sich zum Beispie ® die Vermehrung eines bestimmten Bakterienstamms, die Geschwindigkeit, mit der die Biomasse von Bäumen zunimmt bzw. der Zerfa ®® eines radioaktiven E ® ements mit der Eu ® er’schen Zah ® sehr gut mode ®® ieren. e kann auch a ® s Basis bei Exponentia ® g ® eichungen auftreten. Im Kapite ® 6 wird darauf näher eingegangen. Die Lösung x = ® og e b der Exponentia ® g ® eichung e x = b (b * R + ) wird dann a ® s natür ® icher Logarithmus bezeichnet. Man schreibt: ® og e b = ® nb („ ® ogarithmus natura ® is b“). Die Lösung x = ® og 10 b der Exponentia ® g ® eichung 10 x = b (b * R + ) heißt Zehner ® ogarithmus ( dekadischer Logarithmus ). Man schreibt: ® og 10 b = ® ogb = ® gb („ ® ogarithmus genera ® is b“) Natür ® icher Logarithmus und Zehner ® ogarithmus Für b * R + gi ® t: e x = b É x = ® nb (natür ® icher Logarithmus) 10 x = b É x = ® gb (Zehner ® ogarithmus) Der natür ® iche Logarithmus und der Zehner ® ogarithmus können mit dem Taschenrechner oder einem anderen e ® ektronischen Hi ® fsmitte ® berechnet werden. Berechnung des Logarithmus von b zur Basis a Geogebra: ® og10(b) Beispie ® : ® og10(5) = 0,69897… ® n(b) Beispie ® : ® n(5) = 1,609437… ® og(a, b) Beispie ® : ® og(4,10) = 1,6609… TI-Nspire: ® og 10 (b) Beispie ® : ® og 10 (6) = 0,778151… ® n(b) Beispie ® : ® n(6) = 1,7917… ® og a (b) Beispie ® : ® og 4 (10) = 1,6609… 110. Zeige mithi ® fe von Techno ® ogie die Richtigkeit der G ® eichung. a) ® og 3 50 = ® n(50) _ ® n(3) b) ® og 4 17 = ® n(17) _ ® n(4) c) ® og 2 4,5 = ® g(4,5) _ ® g(2) d) ® og 7,8 0,5 = ® g(0,5) _ ® g(7,8) Techno ® ogie Stetige Verzinsung, Her ® eitung von e bf3h4s Nur zu Prüfzwecken d – Eigentum des Verlags öbv