Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 181 Geraden im Raum | Lagebeziehungen von Geraden im Raum 702. Gegeben sind zwei Geraden g und h: g: X = 2 2 0 1 3 + s · _ À a h: X = 2 1 ‒ 2 0 3 + t · 2 1 2 1 3 s, t * R Ordne dem Richtungsvektor _ À a die entsprechenden Lagebeziehung von g und h zu. A _ À a = 2 ‒1 ‒ 2 ‒1 3 B _ À a = 2 1 ‒ 2 ‒1 3 C _ À a = 2 0 1 ‒ 2 3 703. Gegeben ist die Gerade g: X = 2 4 2 1 3 + t · 2 1 1 1 3 . Verändere wenn mög ® ich nur eine Koordinate der Geradeng ® eichung g so, dass eine Gerade entsteht, die a) zu g para ®® e ® ist. c) zu g identisch ist. e) zu g schneidend ist. b) para ®® e ® zur xy-Ebene ist. d) para ®® e ® zur x-Achse ist. f) durch P = (5 1 3 1 6) geht. 704. Bestimme die Lagebeziehung von g und h. a) Die Gerade g ist para ®® e ® zur x-Achse und geht durch den Punkt P = (5 1 2 1 ‒ 3). Die Gerade h ist para ®® e ® zur y-Achse und geht durch den Punkt Q = (4 1 2 1 ‒ 3). b) Die Gerade g ist para ®® e ® zur z-Achse und geht durch den Punkt P = (5 1 2 1 ‒ 3). Die Gerade h ist para ®® e ® zur y-Achse und geht durch den Punkt Q = (1 1 3 1 ‒ 3). Winke ® zwischen Geraden im R 3 Den Winke ® α , den zwei einander schneidende Geraden g und h einsch ® ießen, bestimmt man, indem man den Winke ® zwischen den beiden Richtungsvektoren berechnet. Winke ® zwischen zwei schneidenden Geraden _ À a: Richtungsvektor der Geraden g _ À b: Richtungsvektor der Geraden h cos( α ) = _ À a · _ À b __ | _ À a | · | _ À b | ; _ À a, _ À b * R 3 ; _ À a ≠   _ À 0; _ À b ≠   _ À 0 A ® s Ergebnis gibt man immer den k ® eineren der beiden Schnittwinke ® an ( α ª 90°) 705. Berechne den Schnittwinke ® der beiden Geraden g 1 und g 2 . g 1 : X = 2 0 ‒ 2 1 3 + t · 2 ‒ 2 3 1 3 g 2 : X = 2 2 5 1 3 + s · 2 3 ‒ 3 4 3 s, t * R cos( α ) = 2 ‒ 2 3 1 3 · 2 3 ‒ 3 4 3 __ | 2 ‒ 2 3 1 3 | · | 2 3 ‒ 3 4 3 | = ‒11 __ 9 __ 14 · 9 __ 34 = 0,504…  w α  ≈ 120,28°    Da man immer den k ® eineren Schnittwinke ® angibt, ® autet die Lösung: α = 180° – 120,28° = 59,72° Wie im R 2 gi ® t: Stehen zwei Geraden im R 3 norma ® aufeinander, so ist das Ska ® arprodukt ihrer Richtungsvektoren g ® eich nu ®® . AG-R 3.4 1 g und h schneidend und norma ® aufeinander 2 g und h schneidend und nicht norma ® aufeinander 3 g und h identisch 4 g und h para ®® e ® 5 g und h windschief 2 4 z x y 2 4 2 6 8 10 12 –8 –4 α g h b a Techno ® ogie An ® eitung Winke ® bestimmen k9rk5w muster TIPP Nur zu Prüfzwecken – Eigentum ‒ des Verlags öbv