Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 18 kompe- tenzen 1.4 Potenzen mit ree ®® en Exponenten Lernzie ® e: º Die Bedeutung der Einführung von Potenzen mit ree ®® en Exponenten erkennen können º Potenzen mit ree ®® en Exponenten deuten können Grundkompetenz für die schrift ® iche Reifeprüfung: AG-R 1.2 Wissen über a ® gebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variab ® e, Terme, Forme ® n, (Un-)G ® eichungen, G ® eichungssysteme, Äquiva ® enz, Umformungen, Lösbarkeit Die ree ®® en Zah ® en ® assen sich a ® s Punkte auf der Zah ® engeraden darste ®® en. Die Menge der ree ®® en Zah ® en entsteht durch die Erweiterung der rationa ® en Zah ® en Q um die irrationa ® en Zah ® en wie z. B. 9 _ 3. Die irrationa ® en Zah ® en ® assen sich mitte ® s Interva ®® schachte ® ung be ® iebig genau durch rationa ® e Zah ® en annähern (approximieren). Dabei nähert man sich der Zah ® be ® iebig genau durch ganz ineinander ® iegende immer k ® einer werdende Interva ®® e. Im Kapite ® über Funktionen werden auch Funktionen auftreten, bei denen die Variab ® en im Exponenten einer Potenz auftreten, z. B. f(x) = 2 x (Exponentia ® funktionen). Da die Definitions- menge die Menge der ree ®® en Zah ® en sein so ®® , ist es sinnvo ®® auch Potenzen mit ree ®® en Hochzah ® en zu definieren. Da man 9 _ 3 be ® iebig genau durch rationa ® e Zah ® en annähern kann, gi ® t dies beispie ® sweise auch für die Potenz 2 9 _ 3 : 2 1 < 2 9 _ 3 < 2 2 ¥ 2 1,7 < 2 9 _ 3 < 2 1,8 ¥ 2 1,73 < 2 9 _ 3 < 2 1,74 ¥ 2 1,732 < 2 9 _ 3 < 2 1,733 usw. 2 9 _ 3 ist a ® so jene Zah ® , die zwischen a ®® en diesen Annäherungen ® iegt. Rechenrege ® n für Potenzen mit ree ®® en Exponenten Für a ®® e a, b * R + und m, n * R gi ® t: (1) a m · a n = a m + n (2) a m : a n = a m _ a n = a m – n (3) (a m ) n = a m·n (4) (a · b) m = a m · b m (5) 2 a _ b 3 m = a m _ b m 74. Ermitt ® e durch eine Interva ®® schachte ® ung den Wert der Potenz auf drei Nachkommaste ®® en genau. Kontro ®® iere mit Techno ® ogie. a) 2 9 _ 2 b) 3 9 _ 5 c) 5 9 _ 3 d)   7  9 _ 5 e) 4 9 _ 6 f) 8 9 _ 8 g) 10 9 _ 7  Potenzen a n : Potenz a: Basis n: Exponent (= Hochzah ® ) Das Ergebnis heißt Wert der Potenz. a 1 = a a 0 = 1 a ‒n = 1 _ a n (a * R , a ≠ 0, und n  * R ) Für a * R , a º 0 und m, n * N \ {0} gi ® t: a m _ n = n 9 __ a m Rechenrege ® n für Potenzen (a, b * R + und m, n * R ) (1) a m · a n = a m + n (2) a m : a n = a m _ a n = a m – n (3) (a m ) n = a m·n (4) (a · b) n = a n · b n (5) (a : b) n = 2 a _ b 3 n = a n _ b n zusammenfassung Nur 2 zu Prüfzweck n – Eigentum des Verlags öbv