Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

177 Geraden im Raum | Lagebeziehungen von Geraden im Raum 688. In der Abbi ® dung sieht man einen Würfe ® und ein Para ®® e ® epiped, deren Grundf ® ächen in der xy-Ebene ® iegen. Beide haben die g ® eiche Höhe und ihre Eckpunkte haben ganzzah ® ige Koordinaten. Bestimme die Lagebeziehung der fo ® genden Geraden. a) g(A, B), h(L, P) d) g(E, F), h(P, L) b) g(G, C), h(I, L) e) d(E, B), h(H, C) c) g(H, D), h(P, J) f) g(E, B), h(L, M) 689. Ste ®® e dir die Geraden g und h vor und bestimme ihre Lagebeziehung. a) g: X = 2 0 0 0 3 + s · 2 1 0 0 3 h: X = 2 0 0 1 3 + t · 2 0 1 0 3 b) g: X = 2 1 1 0 3 + s · 2 0 1 0 3 h: X = 2 1 1 1 3 + t · 2 0 1 0 3 c) g: X = 2 0 0 1 3 + s · 2 1 1 0 3 h: X = 2 0 0 5 3 + t · 2 1 1 0 3 d) g: X = 2 1 1 0 3 + s · 2 1 1 1 3 h: X = 2 0 0 1 3 + t · 2 0 0 1 3 Zwischen windschiefen und schneidenden Geraden unterscheiden Bestimme die Lagebeziehungen der Geraden g: X = 2 2 ‒1 3 3 + t · 2 ‒1 1 2 3 zu den Geraden h 1 und h 2 . h 1 : X = 2 0 1 7 3 + s · 2 2 1 ‒1 3 h 2 : X = 2 1 1 7 3 + s · 2 ‒1 2 ‒1 3 Da die Richtungsvektoren der Geraden h 1 und h 2 nicht para ®® e ® (keine Vie ® fachen) zum Richtungs- vektor von g sind, können h 1 und h 2 nur schneidend oder windschief zu g ® iegen. Um einen etwaigen Schnittpunkt zu berechnen, setzt man jewei ® s die Geradeng ® eichungen g ® eich und erhä ® t ein G ® eichungssystem aus drei G ® eichungen mit zwei Variab ® en. 2 2 ‒1 3 3 + t · 2 ‒1 1 2 3 = 2 0 1 7 3 + s · 2 2 1 ‒1 3 (1) 2 – t = 0 + 2 s w (2) ‒1 + t = 1 + s (3) 3 + 2 t = 7 – s 2 2 ‒1 3 3 + t · 2 ‒1 1 2 3 = 2 1 1 7 3 + s · 2 ‒1 2 ‒1 3 (1) 2 – t = 1 – 1 s w (2) ‒1 + t = 1 + 2 s (3) 3 + 2 t = 7 – s Man wäh ® t aus dem jewei ® igen G ® eichungssystem zwei be ® iebige G ® eichungen aus und berechnet die Werte der Variab ® en s und t.Die dritte G ® eichung wird dabei nicht verwendet. (1) 2 – t = 2 s (2) ‒1 + t = 1 + s w s = 0; t = 2 (1) 2 – t = 1 – s (2) ‒1 + t = 1 + 2 s w s = ‒1; t = 0 Nun setzt man die erha ® tenen Werte für s und t in die G ® eichung (Kontro ®® g ® eichung) ein, die nicht verwendet wurde. (3) 3 + 2 · 2 = 7 – 0 w 7 = 7 (3) 3 + 2 · 0 = 7 – (‒1) w 3 = 8 Widerspruch! Die Werte von s und t erfü ®® en a ® so a ®® e drei G ® eichungen und sind somit eine Lösung für das ursprüng ® iche G ® eichungssystem aus drei G ® eichungen. Um den Schnittpunkt S zu berech- nen setzt man entweder t in die Parameterform von g oder s in die Parameterform von h 1 ein. S = 2 2 ‒1 3 3 + t · 2 ‒1 1 2 3 = 2 2 ‒1 3 3 + 2 · 2 ‒1 1 2 3 = 2 0 1 7 3 w S = (0 1 1 1 7) Die beiden Geraden sind nicht para ®® e ® und haben a ® so keinen Schnittpunkt, a ® so sind sie zueinander windschief. Arbeitsb ® att 6v9fp2 A z y x 2 6 8 10 12 14 4 8 12 16 24 28 2 6 B C D E F G H I J K L P O N M Nur zu 0 Prüfzwecken 0 – Eigentum des Verlags öbv 0 0