Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 173 kompe- tenzen 11.1 Parameterdarste ®® ung der Geraden Lernzie ® e: º Geraden im Raum mit Hi ® fe der Parameterdarste ®® ung beschreiben können º Lagebeziehungen zwischen Punkt und Gerade bestimmen können Grundkompetenz für die schrift ® iche Reifeprüfung: AG-R 3.4 Geraden durch (Parameter-)G ® eichungen im […] R 3 angeben können; Geradeng ® eichungen interpretieren können, Lagebeziehungen […] zwischen Punkt und Gerade ana ® ysieren […] können. In Lösungswege 5 wurde eine Gerade im R 2 durch einen Punkt und einen Richtungsvektor festge ® egt und mit Hi ® fe der Parameterform dargeste ®® t. Auch im Raum (im R 3 ) ist eine Gerade durch einen Punkt P und einen Richtungsvektor _ À a eindeutig bestimmt. Jeder Punkt der Geraden g kann berechnet werden, indem man zum Punkt P ein Vie ® faches des Richtungsvektors _ À a ad- diert. Z. B: A 1 = P + 1 · _ À a; A 2 = P + 2 · _ À a; A 3 = P + 3 · _ À a; A 4  = P + (‒1) ·   _ À a; Durch diese Methode werden aussch ® ieß ® ich Punkte auf der Geraden g beschrieben. Das führt wie schon im R 2 zu der Parameterdarste ®® ung einer Geraden: Parameterdarste ®® ung einer Geraden im R 3 Jeder Punkt X auf einer Geraden g im Raum kann durch fo ® gende G ® eichung beschrieben werden: g: X = P + t · _ À a t * R P ist ein Punkt auf der Geraden g, _ À a ist ein Richtungsvektor der Geraden und t ist der Parameter. 677. Gib die Parameterform der Geraden g an, die durch die Punkte A = (‒1 1 0 1 2) und B = (‒ 3 1 2 1 0) ver ® äuft und überprüfe, ob der Punkt C = (1 1 ‒ 2 1 4) auf g ® iegt. Mit dem Richtungsvektor _ À AB und dem Punkt A wir die Parameterform von g aufgeste ®® t. _ À AB = 2 ‒ 2 2 ‒ 2 3 u 2 ‒1 1 ‒1 3 g: X = 2 ‒1 0 2 3 + t · 2 ‒1 1 ‒1 3 Wenn C auf g ® iegt, muss es einen Parameter t geben, mit dem man C aus der G ® eichung für g berechnen kann: 2 1 ‒ 2 4 3 = 2 ‒1 0 2 3 + t · 2 ‒1 1 ‒1 3 w 1 = ‒1 – t ‒ 2 = t 4 = 2 – t w t = ‒ 2 t = ‒ 2 t = ‒ 2 w C * g. 678. Gib die Parameterform der Geraden g an, die durch die Punkte A und B ver ® äuft und überprüfe, ob der Punkt C auf g ® iegt. a) A = (2 1 ‒1 1 5), B = (3 1 0 1 6), C = (8 1 5 1 11) c)  A = (‒ 3 1 4 1 2), B = (‒ 4 1 3 1 3), C = (‒ 5 1 2 1 5) b) A = (10 1 9 1 8), B = (‒10 1 9 1 ‒ 8), C = (0 1 0 1 0) d) A = (‒ 3 1 2 1 5), B = (‒ 2 1 4 1 1), C = (‒1 1 6 1 ‒ 3) 2 4 –2 4 8 12 4 0 y z x a a a g A 1 A 2 A 3 A 4 P –a Techno ® ogie Darste ®® ung hy3n72 muster Techno ® ogie An ® eitung kb293j Nu zu Prüfzwecken – Eigentum ‒ des Verlags öbv