Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

172 11 Geraden im Raum Mit diesem Unvermögen unserer Sinne, die Lage von gezeichneten Geraden im Raum eindeutig festzuste ®® en, spie ® t auch der Necker Würfe ® . Diese Kippfigur wurde vom Schweizer Physiker L. A ® bert Necker (1786 –1861) erfunden. Die Fragen, ob die rote Wand des abgebi ® deten Necker- Würfe ® s vorne oder hinten ® iegt kann nicht eindeutig beantwortet werden. Wie so oft, wenn uns unsere Anschauung und Vorste ®® ungs- kraft im Stich ® ässt, hi ® ft uns auch bei diesem Prob ® em die Mathematik aus der K ® emme. Wir werden in diesem Kapite ® auf eine bekannte Methode aus dem R 2 zurückgreifen, diese auf den Raum ausdehnen und so das Prob ® em der beiden Geraden einfach, bequem und ver ® äss ® ich ® ösen. Der Necker-Würfe ® wird uns a ®® erdings weiterhin „necken“…. Im Raum (im R 3 ) ist die Sache nicht so einfach zu k ® ären. Die Frage, ob in nebenstehender Abbi ® dung die Gerade durch die Punkte A und B und die Gerade durch C und D einander schneiden, ® ässt sich mit einem B ® ick nicht beantworten. Auch die Konstruktion der Geraden AB und CD ® iefert zwar einen „Schnittpunkt“, aber es könnte durchaus sein, dass eine Gerade unter der anderen vorbei ® äuft und der Schnittpunkt nur rein optisch besteht. In der Ebene (im R 2 ) ist die gegenseitige Lage zweier Geraden recht ® eicht – auch ohne rech- nerische Hi ® fsmitte ® – festzuste ®® en. Die Frage, ob die Gerade durch die Punkte A und B und die Gerade durch die Punkte B und C einander schneiden, ® ässt sich mit einem B ® ick beant- worten. Zeichnet man die Geraden ein, so ® ässt sich sogar der Schnittpunkt und dessen Koordi- naten ohne größeren Aufwand – einfach mit B ® eistift, Papier und Linea ® – bestimmen. C = ( 2 1 –4 1 –2) 2 –2 z x y 4 8 12 –8 4 16 –4 –8 D = ( 6 1 0 1 –1) B = ( 10 1 6 1 0) A = ( 2 1 4 1 0) C 2 –2 z x 4 8 –8 4 16 –4 –8 A y D B 4 2 4 6 8 10 12 14 –4 0 y x B = ( 10 1 6 1 0) A = ( 2 1 4 1 0) C = ( 2 1 –4 1 0) D = ( 6 1 0 1 0) 4 a b 2 4 6 8 10 12 14 –4 0 y x B A C D S Necker-Würfe ® Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv