Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

171 REFLEXION Eine Reise zwischen den Dimensionen in drei Etappen Für unsere Wahrnehmung, haben a ®® e Objekte drei Dimensionen (Längen-,  Breiten- und Höhenausdehnung, siehe Motivation von Kapite ®  10). In der Mathe- matik gibt es auch Objekte mit nur einer Ausdehnung (z. B. eine Strecke hat nur  eine Längsausdehnung, aber keine Breite und kein Höhe), oder mit nur zwei  Ausdehnungen (z.B. ein Quadrat), oder sogar mit keiner Ausdehnung (z. B.  Punkte). Man spricht von ein-, zwei- oder nu ®® -dimensiona ® en Objekten.  Das Prob ® em Am Beginn des vorigen Jahrhunderts wurde das Sierpinski-Dreieck erfunden, das den ganzzah ® igen Dimensionsbegriff ins Wanken brachte. Das Sierpinski-Dreieck ist ein mathematisches Objekt, das man wie fo ® gt konstruiert: Ein g ® eichseitiges Dreieck tei ® t man in vier k ® einere g ® eichseitige Dreiecke und entfernt das mitt ® ere Dreieck. Mit den rest ® ichen drei Dreiecken verfährt man genauso und mit den jewei ® s verb ® eibenden ebenso u.s.w. Das entstehende Objekt ist eine sehr, sehr „ ® öchrige F ® äche“. Oder verschwindet die  F ® äche vo ®® ständig? We ® che Dimension hat das Sierpinski-Dreieck? Die Idee Um diese Frage zu k ® ären benötigt man einen neuen Dimensionsbegriff . Nehmen wir an, eine Strecke hat die Länge 1. Misst man diese ® be Strecke mit einem feineren Maßstab der Länge   1 _ 3  , erhä ® t man 3 Tei ®® ängen   2 3 · 1 _ 3 = 1 3  . Misst man die F ® äche eines Quadrates  (F ® äche = 1) mit einem Maßstab der Länge   1 _ 3  , so erhä ® t man 9  Tei ® f ® ächen 2 9 ·   2 1 _ 3 3 2 = 1 3  . Misst man das Vo ® umen eines Würfe ® s (Vo ® umen = 1) mit einem Maßstab der Länge   1 _ 3  , so erhä ® t man a ® so 27 Tei ® vo ® umen 2 27·   2 1 _ 3 3 3 = 1 3  . Man bemerkt, dass in den Exponenten  die Dimensionen ( rot ) der jewei ® igen Objekte stehen. Vermisst man a ® so ein Objekt mit der Dimension D mit einem  Maßstab der Länge   1 _ s  und erhä ® t dabei N Tei ® objekte, so gi ® t fo ® gender Zusammenhang: N· 2 1 _ s 3 D  = 1. Mit Hi ® fe des Logarithmus kann man aus dieser G ® eichung die Dimension D ausdrücken: D = ® n(N) _ ® n(s) . Die Lösung Man kann den neuen Dimensionsbegriff auf das Sierpinski-Dreieck anwenden.  Nehmen wir an, das Sirpinski Dreieck hat die Seiten ® änge 1. Vermisst man das  Sierpinski Dreieck mit einem Messstab der Länge   1 _ 4 ( b®au ; d. h. k ® einere Strecken a ® s 1 _ 4  sind nicht messbar), so erha ® ten wir 9 Tei ® dreiecke. Vermisst man es mit einem Messstab der Länge   1 _ 8 ( rot ), so erhä ® t man 27 Tei ® dreiecke. Daraus ergibt sich für die Dimension des Sirpinski Dreiecks: D = ® n 9 _ ® n 4 = ® n 27 _ ® n 8 = 1,58 Das Sierpinski Dreieck hat a ® so eine Dimension, die zwischen der Dimension einer Linie und der Dimension einer F ® äche  ® iegt. Derartige Objekte – mit nicht ganzzah ® iger Dimension – nennt man Frakta ® e . Mehr dazu in den On ® ineergänzungen! I = 1 I = 3· 1 –3 1 –3 1 –3 Ver- tiefung n6ws7c Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv