Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

168 Vektoren im Raum 10 Training Vernetzung – Typ-2-Aufgaben 664. In der Abbi ® dung ® iegt der Punkt P M in der xy-Ebene, senkrecht unter dem Punkt M = (2 1 1 1 3). Ste ®® t man sich vor, dass ein Lichtprojektor  senkrecht (ent ® ang der z-Achse) auf die xy-Ebene scheint, so wäre  P M  der Schattenpunkt von M auf der xy-Ebene. Man nennt P M auch die Projektion von M auf die xy-Ebene. Der Punkt S M ist die Spiege ® ung von M an der xy-Ebene. a) Bestimme die Koordinaten von S M und P M . b)  Zeige, dass die Punkte A = (2 1 1 1 3), B = (2 1 ‒ 4 1 3), C = (5 1 ‒ 4 1 ‒1),  D = (5 1 1 1 ‒1) ein Quadrat bi ® den und dass die Projektion dieses  Quadrates auf die xy-Ebene ein Rechteck aber kein Quadrat ist. c) Wenn einer Einheit im Koordinatensystem 100 000 km entspricht, dann entspricht der Abstand des Punktes M vom Koordinatenursprung in etwa der Entfernung Erde-Mond.  Bestimme die Zeit, die das Licht vom Mond zur Erde benötigt  (Lichtgeschwindigkeit ≈ 300 000 km/s) 665. Gegeben ist der Punkt P = (5 1 4 1 3). Q ist die Spiege ® ung des Punktes P am Koordinaten- ursprung. R ist die Spiege ® ung des Punktes P an der xy-Ebene. a) Bestimme die Koordinaten von Q. b) Bestimme die Koordinaten von R. c) In P befindet sich eine punktförmige Lichtque ®® e. Ein Lichtstrah ® trifft in Richtung PQ im Koordinatenursprung auf einen Spiege ® in der xy-Ebene. Gib einen Vektor an, der der Richtung des ref ® ektierten Strah ® s entspricht. d) M ist ein Punkt im R 3 . Kreuze die zutreffenden Aussagen an. A P + _ À PM = M  B P – _ À PM = ‒M  C _ À PR · 2 1 0 0 3 = 0  666. Der Bohrvektor _ À b einer Probebohrung gibt an, wie sich der Bohrkopf bei einer gerad ® inigen Bohrung innerha ® b einer Stunde bewegt hat. Die erste Koordinate gibt dabei die Abwei- chung (in m) in nörd ® icher Richtung vom Ausgangspunkt P an, die zweite Koordinate gibt die Abweichung (in m) in öst ® icher Richtung und die dritte Koordinate gibt die vertika ® e Abwei- chung (in m) vom Ausgangspunkt an. a) Ein Bohrer beginnt an der waagrechten Erdoberf ® äche zu bohren. In we ® cher Tiefe befindet sich der Bohrer nach 3 Stunden, wenn für den Bohrvektor _ À b = 2 1 2 ‒ 3 3 gi ® t? b) We ® che Strecke ® egt ein Bohrer mit dem Bohrvektor _ À b = 2 2 2 3 3 pro Stunde zurück? c) In we ® che Himme ® srichtung bohrt ein Bohrer mit dem Bohrvektor _ À b = 2 ‒1 1 0 3 ? d) Die Punkte P und Q ® iegen an der waagrechten Erdoberf ® äche. Der Punkt Q  ® iegt in g ® eicher Tiefe genau 20 Meter west ® ich von P. Von P und Q wird g ® eichzeitig begonnen zu bohren. Gib die Bohrvektoren für P und Q an, sodass sich die beiden Bohrer nach einer Stunde genau in der Mitte zwischen P und Q in 5 Metern Tiefe treffen. Typ 2 2 –2 2 4 2 4 0 y z x M(2 1 1 1 3) P M S M Typ 2 Arbeitsb ® att h8jz9r D P · 2 1 0 0 3 = 5  E |P| = |Q|  Typ 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv