Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 167 Vektoren im Raum | Das Vektorprodukt 661. Berechne das Vo ® umen des dreiseitigen Prismas mit den Seitenvektoren _ À a, _ À b, _ À c. a) _ À a = 2 0 3 2 3 , _ À b = 2 ‒1 2 2 3 , _ À c = 2 3 ‒1 1 3 b) _ À a = 2 2 1 ‒ 4 3 , _ À b = 2 3 ‒1 1 3 , _ À c = 2 1 1 0 3 c) _ À a = 2 2 0 0 3 , _ À b = 2 0 1 0 3 , _ À c = 2 0 0 1 3 Vo ® umen einer dreiseitigen Pyramide Da jede dreiseitige Pyramide ein Dritte ® eines dreiseitigen Prismas ist, gi ® t: V = 1 _ 6 · | ( _ À a × _ À b) ·   _ À c | . 662. Berechne das Vo ® umen der dreiseitigen Pyramide mit den Eckpunkten A,B, C und D. a)  A = (‒ 3 1 5 1 1), B = (‒ 3 1 5 1 ‒1), C = (‒ 3 1 1 1 0), D = (0 1 2 1 ‒ 3)  b) A = (0 1 0 1 0), B = (5 1 0 1 0), C = (0 1 5 1 0), D = (0 1 0 1 5)  c)  A = (‒1 1 ‒ 2 1 1), B = (‒ 2 1 3 1 1), C = (1 1 ‒1 1 2) D = (0 1 4 1 0) 663. Gegeben sind die Eckpunkte einer Doppe ® pyramide. Sie besteht aus acht g ® eichseitigen Dreiecken. Berechne die Koordinaten der Punkte D und F. Berechne die Kanten ® änge,  die Oberf ® äche und das Vo ® umen der Doppe ® pyramide. a) A = (8 1 1 1 6), B = (11 1 9 1 1), C = (2 1 13 1 2), E = (3 1 4 1 ‒ 2) b) A = (7 1 0 1 5), B = (10 1 8 1 0), C = (1 1 12 1 1), E = (6 1 9 1 9) „Spitze minus Schaft“-Rege ® Betrag (Länge) eines Vektors _ À a Vektor zwischen zwei Punkten A und B: _ À AB = _ À B – _ À A = 2 x b y b z b 3 – 2 x a y a z a 3 | _ À a| = | 2 x a y a z a 3 | = 9 ______ x a 2 + y a 2 + z a 2 Vektor-Winke ® -Forme ® Für den Winke ® α zwischen zwei Vektoren _ À a und _ À b * R 3 gi ® t: cos α = _ À a · _ À b _ | _ À a| · | _ À b| _ À a, _ À b ≠   _ À o Vektorprodukt (Kreuzprodukt) der beiden Vektoren _ À a und _ À b _ À a × _ À b = 2 x a y a z a 3 × 2 x b y b z b 3 = 2 y a z b – z a y b ‒ (x a z b – z a x b ) x a y b – y a x b 3 Eigenschaften des Vektorproduktes – Das Vektorproduktes _ À a × _ À b ist ein Vektor, der auf die beiden Ausgangsvektoren _ À a und _ À b norma ® steht. – Der Betrag des Vektorproduktes ist genauso groß wie die F ® äche des Para ®® e ® ogramms , das von den Ausgangsvektoren aufgespannt wird: A = | _ À a × _ À b|. – Die Vektoren _ À a und _ À b und _ À a × _ À b bi ® den ein Rechtssystem . Vo ® umen eines Para ®® e ® epipeds V = | | _ À a × _ À b| · _ À c | A B C D E F zusammenfassung 2 2 4 2 8 0 y z x a a b b × b c a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum x des Verlags öbv