Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 140 Reihen 9 Um eine a ®® gemeine Forme ® zur Berechnung von s n herzu ® eiten, geht man fo ® gendermaßen vor: (a n ) ist eine arithmetische Fo ® ge. s n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n die n-te Partia ® summe. Man schreibt s n mit vertauschten Summanden untereinander und setzt a 2 = a 1 + d, a 3 = a 1 + 2 d u. s.w. Dann addiert man: s n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n s n = a n + a n – 1 + a n – 2 + a n – 3 + … + a 1 s n = a 1 + (a 1 + d) + (a 1 + 2 d) + (a 1 + 3 d) + … + (a 1 + (n – 2) d) + (a 1 + (n – 1) d) s n = a n + (a n – d) + (a n – 2 d) + (a n – 3 d) + … + (a n – (n – 2) d) + (a n – (n – 1) d) 2 s n = (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) + … + (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) A ®® e Ausdrücke mit d fa ®® en weg und es b ® eiben n g ® eiche Summanden (a 1 + a n ) über. 2 s n = n (a 1 + a n ) | : 2 s n = n _ 2 (a 1 + a n ) Summenforme ® für die end ® ichen arithmetischen Reihe Für die end ® iche arithmetische Reihe gi ® t: s n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n = n _ 2 · (a 1 + a n ) Setzt man für a n = a 1 + (n – 1) d ein, erhä ® t man: s n = n _ 2 · (a 1 + a 1 + (n – 1)d) = n _ 2 · (2 a 1 + (n – 1) d) 543. We ® chen Wert hat die end ® iche arithmetische Reihe 1 + 3 + 5 + 7 + … + 97 + 99? Man bestimmt die Anzah ® der Summanden durch Einsetzen in die Forme ® für die exp ® izite Darste ®® ung einer arithmetischen Fo ® ge: d = 2 und 99 = 1 + (n – 1) · 2 ¥ 99 = 1 + 2 n – 2 ¥ 99 = 2 n – 1 ¥ 100 = 2 n ¥ 50 = n Die Reihe besteht aus 50 Summanden. Durch Einsetzen in die Summenforme ® erhä ® t man: 1 + 3 + 5 + 7 + … + 97 + 99 = 50 _ 2 · (1 + 99) = 25 ·100 = 2 500 544. Berechne die Summe der end ® ichen arithmetischen Reihe. a) 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 e) 5 + 8 + 11 + … + 143 + 146 b) 75 + 70 + 65 + … + 10 + 5 f) 121 + 110 + 99 + … + 22 + 11 c)  ‒1,8 – 0,6 + 0,6 + 1,8 + … + 75   g) 6,1 + 5,8 + 5,5 + … – 19,1 – 19,4 d) 4 + 7 + 10 + 13 + … + 64 h)  ‒1,2 – 0,7 – 0,2 + 0,3 + … + 12,3 545. We ® chen Wert hat die end ® iche arithmetische Reihe? a) 5 + 7 + 9 + 11 + … + (e – 2) + e c) 10 + 15 + 20 + … + (f – 5) + f b) 1 + 4 + 7 + 10 + … + (g – 3) + g d)  ‒ 4 – 8 – 12 – … – (h + 4) – h 546. Gegeben ist die arithmetische Fo ® ge a n = 2 n – 1. a) Berechne die ersten sechs Fo ® geng ® ieder. We ® che Zah ® en werden durch den Fo ® genterm a ®® gemein beschrieben? b) Berechne die Werte von s 10 , s 100 und s n . 547. a) Berechne die Summe der geraden Zah ® en von 100 bis 1 000. b) Berechne die Summe der ungeraden Zah ® en von 205 bis 2 055. 548. Man kennt drei der vier Größen s n , a 1 , n, d. Berechne die feh ® ende Größe. a) a 1 = 20, n = 9, d = 2 c) s n = 110, a 1  = ‒ 5, d = 3  e) s n = 5 900, n = 20, d = 30 b) s n = 147, n = 6, d = 7 d) s n  = ‒147, a 1  = ‒12, n = 21  f) s n = 84 630, a 1  = ‒15, d = 21 } + muster Nu zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv