Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

techno- logie 14 Potenzen 1 Beim Bestimmen höherer Potenzen von Binomen ® ässt sich aber eine Gesetzmäßigkeit erkennen: a tritt mit steigendem Exponenten und b mit fa ®® endem Exponenten auf (1 a 4 b 0 + 4 a 3 b 1 + 6 a 2 b 2 + 4 a 1 b 3 + 1 a 0 b 4 , a 0 = b 0 = 1). Das Prob ® em der vor den Summanden auftretenden Koeffiziente n (Vorzah ® en) kann dank B ® aise Pasca ® (1623 –1662, französischer Mathematiker, Physiker, Literat und christ ® icher Phi ® osoph) mithi ® fe des nach ihm benannten „Pasca ® ’schen Dreiecks“ ge ® öst werden: In der ersten Zei ® e steht eine 1. In der zweiten Zei ® e steht zu Beginn und am Ende eine 1. In der dritten Zei ® e steht ebenfa ®® s zu Beginn und am Ende eine 1, die Lücke dazwischen wird mit der Summe der darüber ® iegenden beiden Zah ® en gesch ® ossen usw. Die derart entstehenden Zah ® en sind zei ® enweise betrachtet die Koeffizienten der Binome mit den Exponenten 0, 1, 2, 3, 4, 5 usw. Für (a + b) 5 gi ® t dann die Zei ® e 6mit den Koeffizienten 1 5 10 10 5 1. Potenzen von a einfügen: (a + b) 5 = 1 a 5 5 a 4 10 a 3 10 a 2 5 a 1 1 a 0 Potenzen von b einfügen: = 1 a 5 b 0 5 a 4 b 1 10 a 3 b 2 10 a 2 b 3 5 a 1 b 4 1 a 0 b 5 = a 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5 a b 4 + b Steht vor dem b ein Minus, so hat auch in der aufge ® östen Form jedes b mit ungerader Hochzah ® ein negatives Vorzeichen, da für ungerade n * R gi ® t: (‒ b) n  = ‒ b n . 51. Berechne die Potenzen der Binome. a) (a + b) 6 b) (a + b) 7 c) (a – b) 4 d) (a – b) 5 e) (2 a + b) 4 f) (a – 3 b) 3 52. Berechne die Potenzen der Binome. Kontro ®® iere mit Techno ® ogieeinsatz. a) (2 – a 2 b) 3 b) (a + 3 b 2 ) 4 c) (1 – b 3 ) 5 d) (a b 2 + 1) 6 e) (a + 2 b 2 ) 7 Potenzen von Binomen mit Basis (a + b) und Exponenten n Geogebra: (a + b)^n Beispie ® : (2 – a^2*b)^3 TI-Nspire: expand((a + b)^n) Beispie ® : expand((4 a 2 + b · c) 3 ) Eine Besonderheit des Pasca ® ’schen Dreiecks ist die, dass die Summe der G ® ieder der 1., 2., 3., … Zei ® e jewei ® s eine Zweierpotenz ergeben: 1 = 2 0 1 + 1 = 2 = 2 1 1 + 2 + 1 = 4 = 2 2 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2 3 A ®® gemein ist die Summe der G ® ieder der n-ten Zei ® e 2 n – 1 . 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Arbeitsb ® att z65vs9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv