Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 139 kompe- tenzen 9.1 Arithmetische Reihe Lernzie ® e: º Die Definition der end ® ichen arithmetischen Reihe angeben können (FA-L 8.2) º Die Summenforme ® für die end ® iche arithmetische Reihe kennen und anwenden können Gegeben ist die arithmetische Fo ® ge 1, 4, 7, 10, 13, 16, … Es gi ® t a 1 = 1 und d = 3. Werden die ersten n G ® ieder der Fo ® ge summiert, erhä ® t man eine Fo ® ge von Tei ® summen (Partia ® summen), die a ® s end ® iche arithmetische Reihen bezeichnet werden: s 1 = a 1 = 1 s 3 = 1 + 4 + 7 = 12 s 5 = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 35 s 2 = 1 + 4 = 5 s 4 = 1 + 4 + 7 + 10 = 22 s 6 = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 = 51 u. s.w. End ® iche arithmetische Reihe Ist (a n ) eine arithmetische Fo ® ge mit den Fo ® geng ® iedern a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , …, so bezeichnet man den Ausdruck s n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n a ® s end ® iche arithmetische Reihe . 538. Gegeben ist die arithmetische Fo ® ge (3, 6, 9, 12, 15, 18, …). a) Bi ® de die ersten sechs end ® ichen arithmetischen Reihen. b) Beschreibe s 4 in Worten. a) s 1 = 3 s 3 = 3 + 6 + 9 = 18 s 5 = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 45 s 2 = 3 + 6 = 9 s 4 = 3 + 6 + 9 + 12 = 30 s 6 = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 = 63 b) s 4 ist die Summe der ersten vier G ® ieder der gegebenen arithmetischen Fo ® ge. 539. Berechne die ersten fünf Partia ® summen. a) (1, 2, 3, 4, …) b) (1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; …) c) 2 1 _ 5 ; 8 _ 15 ; 13 _ 15 ; 6 _ 5 ; … 3 540. Gegeben ist die arithmetische Fo ® ge (1, 3, 5, 7, 9, …). Bi ® de s 1 , s 2 , s 3 , s 4 , s 5 und s 6 . Es ergeben sich die ersten sechs G ® ieder we ® cher Fo ® ge? 541. Eine Dreieckszah ® ist eine Zah ® , die der Summe a ®® er natür ® ichen Zah ® en von 1 bis zu einer Obergrenze n entspricht. Gib die ersten fünf Drei- eckszah ® en an und begründe, dass es sich dabei um die Summen von end ® ichen arithmetischen Reihen hande ® t. Das Berechnen der Tei ® summen ist für eine größere Anzah ® von Summanden sehr ® angwierig. Man kann sich aber eine Forme ® zur schne ®® eren Berechnung der Summen über ® egen. 542. Gegeben ist die arithmetische Fo ® ge (1, 5, 9, 13, 17, …). Gib s 8 an und berechne die Summe. Es ist die Summe s 8 = 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25 + 29 zu berechnen. Dabei ® ässt sich eine gewisse Rege ® mäßigkeit erkennen: Betrachtet man a 1 und a 8 und berechnet die Summe, gi ® t : a 1 + a 8 = 1 + 29 = 30 Ebenso gi ® t für a 2 und a 7 , a 3 und a 6 sowie für a 4 und a 5 : a 2 + a 7 = 5 + 25 = 30 a 3 + a 6 = 9 + 21 = 30 a 4 + a 5 = 13 + 17 = 30 Es gi ® t: s 8 = 4 · 30 = 120 muster 1 3 6 10 muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv