Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

138 9 Reihen Zenon gab mit diesem und weiterer paradoxer Über ® egungen den Anstoß, dass sich Mathematiker mit dem Unend ® ichen beschäftigen. An einigen Ste ®® en haben wir in diesem Buch schon gesehen, dass man die Unend ® ichkeit zwar nicht begreifen aber durchaus mathematisch in den Griff bekommen kann (indirekter Beweis, Cantor, Grenzwert von Fo ® gen). Wie man Zenons Paradoxon mit Hi ® fe von unend ® ichen Reihen auf ® ösen kann, wirst du in diesem Kapite ® erfahren. Übrigens hat sich schon mancher Mensch gedacht: Wenn ich von einer Tafe ® Schoko ® ade immer die Hä ® fte von dem esse, was noch da ist, kann ich ewig Schoko ® ade genießen … Es war vor 2 500 Jahren, a ® s der antike griechische Phi ® osoph Zenon von E ® ea ein bis zur heutigen Zeit diskutiertes Paradoxon (eine Aussage, die der Erwartung auf unerwar- tete Weise widerspricht) formu ® ierte. Er erfand fo ® gende Über ® egung. Achi ®® , der schne ®® ste Läufer der Antike, kann eine Schi ® d- kröte bei einem Wett ® auf nie besiegen, wenn er der Schi ® dkröte – äußerst großzügig aber ® eider auch unüber ® egt – einen Vorsprung gewährt. Denn: Soba ® d Achi ®® die Ste ®® e erreicht, an der die Schi ® dkröte gestartet ist, ist sie nicht mehr dort, da sie sich sehr ® angsam aber sicher fortbewegt hat. Läuft Achi ®® nun weiter, zu der Ste ®® e, wo sich die Schi ® dkröte nun befindet, so wird er, dort ange ® angt, die Schi ® dkröte nicht mehr vorfinden, u. s.w. Es war vor etwa 250 Jahren, a ® s ein Vo ® ksschu ®® ehrer seinen Schü ® ern, die er einige Zeit beschäftigen wo ®® te, fo ® gende Aufgabe ste ®® te: „Berechnet die Summe a ®® er ganzer Zah ® en von 1 bis 100.“ Nach kurzer Zeit kam einer der Schü ® er zum Lehrerpu ® t und ® egte das Ergebnis mit den Worten: „Ligget se.“ (P ® attdeutsch für: „Hier ® iegt sie.“) vor den verb ® üfften Lehrer. Dieser Schü ® er war Car ® Friedrich Gauss, einer der berühm- testen Mathematiker der Geschichte. In diesem Kapite ® wirst du sehen, wie der junge Gauss dieses Prob ® em mit einer einfachen Über ® egung ge ® öst hat. Hast du jetzt end ® ich eingesehen, dass du nie gewinnen kannst? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des ü Verlags öbv