Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

136 Folgen 8 Training Vernetzung – Typ-2-Aufgaben 526. Leonardo von Pisa (1170 –1240), auch Fibonacci genannt, war einer der bedeutendsten Mathematiker des Mitte ® a ® ters. Auf zah ® reichen Reisen machte er sich mit der arabischen Mathematik vertraut und fasste seine Erkenntnisse darüber in zah ® reichen Büchern zusammen. Aus einem dieser Werke stammt auch die nach ihm benannte Fo ® ge natür ® icher Zah ® en: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … („Fibonacci-Fo ® ge“) a) Gib eine rekursive Darste ®® ung dieser Fo ® ge an. Begründe, warum es sich dabei um keine arithmetische oder geometrische Zah ® enfo ® ge hande ® t. b) Mithi ® fe der Forme ® von Moivre-Binet können die Fo ® geng ® ieder a n der Fibonacci-Fo ® ge direkt aus n berechnet werden. Es gi ® t: a n = 1 _ 9 _ 5 · 2 2 1 + 9 _ 5 _ 2 3 n – 2 1 – 9 _ 5 _ 2 3 n 3 . Begründe, dass die Fibonacci-Fo ® ge divergent ist. c) Seit der Antike haben sich Künst ® er und Baumeister immer wieder die Frage geste ®® t, we ® che Proportionen a ® s besonders schön empfunden werden. A ® s besonders ästhetisch empfand man Streckentei ® ungen, bei denen sich die ® ängere Strecke a zur kürzeren Strecke b genauso verhä ® t wie die Summe a + b der Tei ® strecken zur ® ängeren Strecke a. Dieses Verhä ® tnis wurde a ® s „go ® dener Schnitt“ bezeichnet. Nimm an, dass die ganze Strecke den Wert 1 hat und bezeichne die ® ängere Tei ® strecke mit x. Bestimme durch Einsetzen und Lösen einer G ® eichung die Länge der Tei ® strecken und zeige, dass für die „go ® dene Zah ® “ Φ gi ® t: Φ = a _ b  ≈ 1,618 Erk ® äre, wie die Fo ® geng ® ieder der Fibonacci-Fo ® ge im Zusammenhang mit dem go ® denen Schnitt stehen, indem du die Quotientenfo ® ge a n + 1 _ a n betrachtest. d) Begründe: Jede dritte Fibonacci-Zah ® ist gerade. Techno ® ogie Fibonacci-Fo ® ge 2mc2s9 Typ 2 Techno ® ogie Her ® eitung der Forme ® von Moivre-Binet f336i5 a a + b = 1 b Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verla s öbv