Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

135 Folgen | Geometrische Zahlenfolgen 520. Berechne die ersten fünf G ® ieder der geometrischen Fo ® ge b n = 4 · 2 n und berechne das geometrische Mitte ® von b 2 und b 4 bzw. von b 3 und b 5 . Was fä ®® t dir auf? b 1 = 4 · 2 1 = 8, b 2 = 16, b 3 = 32, b 4 = 64, b 5 = 128 9 ____ b 1 · b 3 = 9 ___ 8 · 32 = 9 __ 256 = 16 = b 2 9 ____ b 2 · b 4 = 9 ____ 16 · 64 = 4 · 8 = 32 = b 3 Jedes G ® ied einer geometrischen Fo ® ge ist das geometrische Mitte ® seiner Nachbarg ® ieder. Daher auch der Name „geometrische Fo ® ge“ . 521. Berechne die ersten sechs Fo ® geng ® ieder und bestimme das geometrische Mitte ® von b 1 und b 3 bzw. b 4 und b 6 . a) b n = 0,01 ·10 n b) b n = 1 _ 9 · 6 n c) b n = 2 _ 49 ·14 n d) b n = 2 _ 25 · 5 n e) b n = 0,2 · 3 n 522. Zeige, dass für eine geometrische Fo ® ge b n a ®® gemein gi ® t: b n = 9 ______ b n – 1 · b n + 1 , wenn b n > 0. 523. Von einer geometrischen Fo ® ge kennt man b 3 = 20 und b 5 = 80. Bestimme b 1 und q und gib b n rekursiv und exp ® izit an. Es gi ® t: b 5 = b 3 · q 2 ¥ 80 = 20 · q 2 ¥ q = ± 2. Weiters ist b 3 = b 1 · q 2 . D. h. 20 = b 1 · 2 2 ¥ b 1 = 5 Rekursive Darste ®® ung: b n + 1 = b n · (± 2) Exp ® izite Darste ®® ung: b n = 5 · (± 2) n – 1 524. Bestimme b 1 und q der geometrischen Fo ® ge und gib b n rekursiv und exp ® izit an. a) b 2 = 2; b 4 = 0,5 c) b 5 = 1 _ 256 ; b 6 = 1 _ 2 048 e) b 4 = 0,009; b 6 = 0,00009 b) b 3 = 16; b 6  = ‒128  d) b 2 = 2 _ 3 ; b 7 = 2 _ 729 f) b 3  = ‒18; b 5  = ‒162 525. Zwischen den Zah ® en 5 und 5 120 sind vier natür ® iche Zah ® en so einzufügen, dass eine geometrische Fo ® ge von sechs G ® iedern entsteht. Bestimme die Fo ® geng ® ieder. Darste ®® ung von Fo ® gen Zah ® enfo ® gen können rekursiv oder exp ® izit dargeste ®® t werden. Die G ® ieder einer Fo ® ge können a ® s Punkte auf der Zah ® engeraden oder a ® s Punkte in einem Koordinatensystem dargeste ®® t werden. Spezie ®® e Fo ® gen Arithmetische Fo ® ge Geometrische Fo ® ge Rekursive Darste ®® ung: a n + 1 = a n + d b n + 1 = b n · q Exp ® izite Darste ®® ung: a n = a 1 + (n – 1) d b n = b 1 · q n – 1 Monotonie, Schranken und Grenzwerte von Fo ® gen – Gi ® t für eine Fo ® ge a n < a n + 1 , ist die streng monoton steigend . – Gi ® t für eine Fo ® ge a n > a n + 1 , ist die streng monoton fa ®® end . – Eine ree ®® e Zah ® s heißt untere Schranke von a n , wenn für a ®® e natür ® ichen n > 0 gi ® t: s ª a n – Eine ree ®® e Zah ® S heißt obere Schranke von a n , wenn für a ®® e natür ® ichen n > 0 gi ® t: a n ª S – Besitzt a n eine untere bzw. obere Schranke, heißt die Fo ® ge nach unten bzw. oben beschränkt. – a n heißt beschränkt , wenn die Fo ® ge nach unten und oben beschränkt ist. – a ist der Grenzwert der Fo ® ge a n , wenn für ε * R + ein Index n 0 existiert, sodass für a ®® e k > n 0 gi ® t: |a k – a| < ε muster muster Arbeitsb ® att Kontextaufgaben zu geometrischen Fo ® gen za4c3g zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv