Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 133 kompe- tenzen 8.4 Geometrische Zah ® enfo ® gen Lernzie ® e: º Die Definition einer geometrischen Fo ® ge kennen º Die rekursive und die exp ® izite Darste ®® ung einer geometrischen Fo ® ge angeben können (FA-L 7.1) º Geometrische Fo ® gen graphisch darste ®® en können Gegeben ist die Fo ® ge (2, 6, 18, 54, 162, 486, …). Ein Fo ® geng ® ied ergibt sich aus dem vorhergehenden durch die Mu ® tip ® ikation mit 3. 2 w 6 w 18 w 54 w 162 w 486 … · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 Von einer geometrischen Zah ® enfo ® ge spricht man, wenn ein Fo ® geng ® ied sich durch Mu ® tip ® ikation mit q aus dem vorhergehenden ergibt bzw. der Quoti- ent q aufeinanderfo ® gender G ® ieder konstant ist. b 1 w b 2 w b 3 w b 4 … · q · q · q q > 1 bedeutet streng monotones Steigen der Fo ® geng ® ieder, 0 < q < 1 ein streng monotones Fa ®® en. Für q = 1 oder q = 0 ab dem zweiten Fo ® geng ® ied ist die Fo ® ge konstant. Ist q < 0 (d. h. für negatives q) wechse ® n die Fo ® geng ® ieder a ® ternierend das Vorzeichen. 509. Bestimme die ersten fünf Fo ® geng ® ieder der geometrischen Fo ® ge mit b 1 = 3 und q = 2 sowie eine a ®® gemeine Darste ®® ung. Die G ® ieder der Fo ® ge können auf zwei Arten berechnet werden. 1. Art: 2. Art: b 1 = 3 b 2 = b 1 · q = 3 · 2 = 6 b 2 = b 1 · q = 6 b 3 = b 2 · q = 6 · 2 = 12 b 3 = b 2 · q = (b 1 · q) · q = b 1 · q 2 = 12 b 4 = b 3 · q = 12 · 2 = 24 b 4 = b 3 · q = (b 1 · q 2 ) · q = b 1 · q 3 = 24 b 5 = b 4 · q = 24 · 2 = 48 b 5 = b 4 · q = (b 1 · q 3 ) · q = b 1 · q 4 = 48 b n + 1 = b n · q = b n · 2 b n = b 1 · q n – 1 = 3 · 2 n – 1 Geometrische Zah ® enfo ® ge Eine Fo ® ge heißt geometrisch, wenn der Quotient zweier aufeinanderfo ® gender Fo ® geng ® ieder konstant ist. Der Quotient wird mit q bezeichnet. Rekursive Darste ®® ung : b n + 1 = b n · q Exp ® izite Darste ®® ung : b n = b 1 · q n – 1 (q * R , n * N \{0}) 510. Bestimme die ersten drei Fo ® geng ® ieder der geometrischen Fo ® ge. a) b 1 = 4; q = 4 b) b 1  = ‒ 2; q = 0,1  c) b 1  = 4,5; q = ‒1  d) b 1 = 7 _ 10 ; q = 10 511. Bestimme die rekursive und die exp ® izite Darste ®® ung der geometrischen Fo ® ge. a) b 1  = ‒ 2; q = 3  c) b 1  = 5; q = ‒ 2  e) b 1 = 7,5; q = 1 b) b 1 = 1 _ 5 , q = 1 _ 2 d) b 1  = ‒ 9, q = ‒ 0,1  f) b 1  = ‒1; q = 4 muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv