Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 130 kompe- tenzen 8.3 Arithmetische Zah ® enfo ® gen Lernzie ® e: º Die Definition einer arithmetischen Fo ® ge kennen º Die rekursive und die exp ® izite Darste ®® ung einer arithmetischen Fo ® ge angeben können (FA-L 7.1) º Arithmetische Fo ® gen graphisch darste ®® en können Gegeben ist die Fo ® ge (5, 8, 11, 14, 17, 20, …). Ein Fo ® geng ® ied ergibt sich aus dem vorhergehenden durch die Addition von 3. 5 w 8 w 11 w 14 w 17 w 20 … + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 Von einer arithmetischen Zah ® enfo ® ge spricht man, wenn sich ein Fo ® geng ® ied durch Addition von d aus dem vorhergehenden ergibt bzw. wenn die Differenz d aufeinanderfo ® gender G ® ieder konstant ist. a 1 w a 2 w a 3 w a 4 … + d + d + d d > 0 bedeutet ein streng monotones Steigen der Fo ® geng ® ieder, d < 0 ein streng monotones Fa ®® en. Für d = 0 ist die Fo ® ge konstant. 489. Bestimme die ersten fünf Fo ® geng ® ieder der arithmetischen Fo ® ge mit a 1  = 6 und d = ‒ 2  sowie 1) die exp ® izite 2) die rekursive Termdarste ®® ung der Fo ® ge. Die G ® ieder der Fo ® ge können auf zwei Arten berechnet werden. 1. Art: 2. Art: a 1 = 6 a 2 = a 1  + d = 6 + (‒ 2) = 6 – 2 = 4  a 2 = a 1 + d = 4 a 3 = a 2  + d = 4 + (‒ 2) = 4 – 2 = 2  a 3 = a 2 + d = (a 1 + d) + d = a 1 + 2 d = 2 a 4 = a 3  + d = 2 + (‒ 2) = 2 – 2 = 0  a 4 = a 3 + d = (a 1 + 2 d) + d = a 1 + 3 d = 0 a 5 = a 4  + d = 0 + (‒ 2) = ‒ 2   a 5 = a 4 + d = (a 1 + 3 d) + d = a 1  + 4 d = ‒ 2 a n + 1 = a n  + (‒ 2) = a n – 2 a n = a 1  + (n – 1) d = 6 + (n – 1) (‒ 2) = ‒ 2 n + 8 rekursive Darste ®® ung exp ® izite Darste ®® ung Arithmetische Zah ® enfo ® ge Eine Fo ® ge heißt arithmetisch, wenn die Differenz zweier aufeinanderfo ® gender Fo ® geng ® ieder konstant ist. Die Differenz wird mit d bezeichnet. Rekursive Darste ®® ung : a n + 1 = a n + d Exp ® izite Darste ®® ung : a n = a 1 + (n – 1) d (n * N \{0}, d * R ) 490. Bestimme die rekursive und die exp ® izite Darste ®® ung der arithmetischen Fo ® ge. a) a 1  = ‒ 4; d = 2  c) a 1  = 0; d = ‒ 3  e) a 1 = 1,5; d = 0 b) a 1 = 5 _ 6  , d = ‒   1 _ 2 d) a 1  = ‒7, d = ‒ 5  f) a 1 = 3; d = 3 491. Gib die rekursive bzw. exp ® izite Darste ®® ung an. a) a n = 2 n + 1 c) a n + 1 = a n – 1, a 1 = 2 e) a n = 3 n – 1 b) a n  = ‒ 4 n + 5    d) a n + 1 = a n + 7, a 1  = ‒1  f) a n + 1 = a n + 1, a 1 = 2 muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv