Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 128 Folgen 8 Für eine (streng) monoton steigende Fo ® ge gi ® t a n < a, d. h. a – a n < ε Für eine (streng) monoton fa ®® ende Fo ® ge gi ® t a n > a, d. h. a n – a < ε } |a n – a| < ε 475. Bestimme für ε = 0,001 den Index n 0 , ab dem a ®® e weiteren G ® ieder der Fo ® ge a n = 6 n _ 1 + 2 n in der ε -Umgebung um den Grenzwert a = 3 ® iegen. Man setzt in die Ung ® eichung |a n – a| < ε die entsprechenden Werte ein und ® öst nach n auf: | 6 n _ 1 + 2 n – 3 | < 0,001 | 6 n – 3 – 6 n __ 1 + 2 n | < 0,001 Auf gemeinsamen Nenner bringen. | – 3 _ 1 + 2 n | < 0,001 Der Ausdruck zwischen den Betragsstrichen wird positiv gemacht. 3 _ 1 + 2 n < 0,001 | · (1 + 2 n) > 0 3 < 0,001 + 0,002 n 2,999 < 0,002 n | : 0,002 1 499,5 < n n 0 = 1 500: D. h., ab den Fo ® geng ® ied a 1500 ® iegen a ®® e weiteren Fo ® geng ® ieder in der 0,001-Um- gebung um 3. Da diese Untersuchung für a ®® e be ® iebig k ® einen positiven ε -Werte durchgeführt werden kann, ist a = 3 der Grenzwert der Fo ® ge. Es kann immer ein Index n 0 gefunden werden, der angibt, ab dem wievie ® ten Fo ® geng ® ied a ®® e weiteren in der ε -Umgebung um a ® iegen. 476. Bestimme für das gegebene ε , ab dem wievie ® ten Fo ® geng ® ied a ®® e weiteren G ® ieder der Fo ® ge a n in der ε -Umgebung um den Grenzwert a ® iegen. a) a n = 4 n _ 1 – n  , a = ‒ 4,  ε = 0,01 b) a n = 2 n + 3 _ 4 + n , a = 2, ε = 0,001 c) a n = 3n + 2 _ 4 + 2n , a = 1,5, ε = 0,0001 477. Überprüfe für ε = 0,001, dass a n eine Nu ®® fo ® ge ist. a) a n = 7 _ 1 + n b) a n = 1 _ n c) a n = ‒ 3 _ 4 n d) a n = 2 _ n 2 e) a n = n _ n 2 – 1 f) a n = 3 · 0,25 n 478. Ste ®® e eine Vermutung bezüg ® ich des Grenzwerts von a n auf und überprüfe diese für ε = 0,001. a) a n = n – 1 _ 2 n + 3 b) a n = 3 – 4 n _ n + 2 c) a n = 2 n 2 + 1 _ 1 + n 2 d) a n = 2 _ 5 n 2 e) a n = 8 n – 3 _ 5 + 2 n 479. Hat die Fo ® ge a n einen Grenzwert? Begründe deine Entscheidung. a) a n  = (‒1) n b) a n = 3 c) a n  = (‒1) n · n – 1 _ n d) a n  = (‒ 2) n e) a n  = (‒ 0,2) n 480. a) Gegeben ist die Fo ® ge k 0; 0,9; 0; 0,99; 0; 0,999; 0; 0,9999; 0; … l . Begründe, warum 1 nicht der Grenzwert ist. b) Hat die Fo ® ge k 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, … l einen Grenzwert? Begründe deine Entscheidung. Nu ®® fo ® gen können für die Bestimmung des Grenzwerts einer Fo ® ge sehr hi ® freich sein. Dazu wird nun zusammengeste ®® t, we ® che Form Nu ®® fo ® gen haben können. Formen von Nu ®® fo ® gen 1) a n = konstante Zah ® ____ Po ® ynom mit Potenzen von n (z. B. a n = – 6 _ n 2 + 4 ) 2) a n = T 1 (n) _ T 2 (n) , wobei T 1 (n) und T 2 (n) Po ® ynome (mehrg ® iedrige Terme) sind und der Grad von T 1 (n) k ® einer ist a ® s der Grad von T 2 (n). Unter dem Grad versteht man die größte vorkom- mende Hochzah ® einer Potenz. 2 z. B. a n = 6 n – 1 _ 2 n 2 + 3 3 3) a n = k · q n , wobei k eine be ® iebige ree ®® e Zah ®  ist und q ein Wert zwischen ‒1 und 1.  (z. B. a n = 2 · 0,3 n ) muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv