Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 127 Folgen | Monotonie und Grenzwert 470. Zeige, dass der angegebene Wert eine obere Schranke der Fo ® ge ist. a) 0,5; a n = ‒ 2 n + 3 __ 3 n b) 2; a n = 2 – 3 n _ 2 n + 2 c) 3; a n = 4 n _ 1 + 2 n d) 1,5; a n = 4 n – 1 _ 3 n e) 1; a n = 2 n _ 4 n + 3 471. Überprüfe, ob der angegebene Wert eine untere Schranke der Fo ® ge ist. a) 1 _ 2 ; a n = 3 _ n b) 2; a n = 7n + 2 _ 3 n c) 1; a n = 2 – 1 _ 4 n d) 2,5; a n = 2 n _ n – 1 e) 0; a n = 1 _ 3 n + 2 472. Ste ®® e die beschränkte Fo ® ge a n graphisch dar und bestimme, fa ®® s vorhanden, die k ® einste obere und die größte untere Schranke. a) a n = 4 n + 1 _ 3 + 2 n b) a n = n _ 3 – 2 n c) a n = 1 _ 1 + n 2 d) a n = ‒ 4 n + 2 __ 2 n e) a n = 2 – 6 n _ 2 + 2 n f) a n  = (‒1) n + 1 · n 473. Begründe warum die Fo ® ge a n = 2 1 _ 3 3 n beschränkt ist und gib die k ® einste obere Schranke an. 474. Begründe, dass bei einer streng monoton wachsenden Fo ® ge a 1 immer eine untere Schranke ist. Grenzwert einer Fo ® ge Es gibt Fo ® gen, deren Fo ® geng ® ieder sich für größer werdende n einem bestimmten Wert immer weiter annähern, ohne ihn aber jema ® s zu erreichen. Dieser Wert wird a ® s Grenzwert bezeichnet. Anhand der Fo ® ge a n = 6 n _ 1 + 2 n so ®® dies veranschau ® icht werden. Dazu berechnet man einige Fo ® geng ® ieder: a 1 = 2; a 2 = 2,4; a 3  ≈ 2,57; …; a 50  ≈ 2,97; a 1000  ≈ 2,999 Rein intuitiv kann man vermuten, dass sich die Fo ® gen- g ® ieder a = 3 annähern und 3 somit der Grenzwert ist. Die Darste ®® ung im Koordinatensystem scheint diese Vermutung ebenfa ®® s zu untermauern. Diese intuitive Annäherung an den Grenzwert einer Fo ® ge kann „mathematischer“ beschrieben werden. Dazu steckt man um den Grenzwert einen be ® iebig k ® einen Bereich a ± ε (eine so genannte ε -Umgebung) ab. Es müssen ab einem bestimmten Fo ® geng ® ied a ®® e weiteren Fo ® geng ® ieder in diesem Bereich ® iegen. Lässt sich eine so ® che ε -Umgebung für je- des noch so k ® eine positive ree ®® e ε finden, nähern sich die Fo ® geng ® ieder dem Wert a be ® iebig nahe an und a wird Grenzwert von a n genannt. Grenzwert einer Fo ® ge Findet man für jedes noch so k ® eine ε * R + einen bestimmten Index n 0 , ab dem der Abstand der weiteren Fo ® geng ® ieder a k (k > n 0 ) zum Grenzwert k ® einer a ® s ε ist, wird a der Grenzwert der Fo ® ge a n genannt. D. h. a ist der Grenzwert der Fo ® ge a n , wenn für ε * R + ein Index n 0 existiert, sodass für a ®® e k > n 0 gi ® t: |a k – a| < ε . Schreibweise: ® im n ¥ • a n = a („Limes (Grenzwert) von a n für n gegen unend ® ich ist a“) Eine Fo ® ge a n heißt konvergent , wenn sie einen Grenzwert besitzt. Eine Fo ® ge a n heißt divergent , wenn sie keinen Grenzwert besitzt. Eine Fo ® ge a n heißt Nu ®® fo ® ge , wenn der Grenzwert 0 ist. n a n 2 4 6 8 10 1 2 3 0 n a n 2 4 6 8 10 1 2 3 0 ε ε Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv